Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤 문제 (완전제곱수의 역수들의 합)

수학노트
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개요

  • 제타 함수의 정수에서의 값을 구하는 것은 수학적으로 흥미로운 문제
  • 다음은 오일러가 처음으로 계산해 내어 매우 유명한 결과로 수학의 아름다운 정리 중 하나로 꼽힘.
<math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math>
<math>\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots</math>



푸리에 급수를 이용한 증명

증명

함수 <math>f(x)=x^2</math>, <math>-\pi < x < \pi</math>의 푸리에 급수는 다음과 같이 주어진다

<math>f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)</math>

<math>x=\pi</math>에서 양변을 계산하면,

<math>\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}</math>

따라서

<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math>. ■



복소함수론의 유수정리를 이용하는 증명

증명

<math>\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}dz</math>

<math>C_{R}</math>는 원점을 중심으로 반지금이 <math>R</math> 인 원

이때 <math>R</math>이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자.

0이 아닌 정수 <math>k</math>에 대하여 <math>z\approx k</math> 이면, <math>\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}</math>

한편<math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}</math>의 0이 아닌 정수 <math>k</math>에서의 유수(residue)는 <math>\frac{1}{k^{2}}</math>로 주어진다.

<math>\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>(코탄젠트 참조)

를 이용하면 <math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}</math>의 0 에서의 유수는 <math>-\pi^{2}/3</math> 임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은

<math>-\frac{\pi^2}{3}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=0</math>

따라서

<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math>. ■




이중적분을 통한 증명

  • 다음과 같은 이중적분을 구해서, 바젤문제를 해결하는 방법:<math>\zeta (2)=\frac{4}{3} \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy</math>
  • 이중적분과 바젤문제



오일러의 방법

  • 사인함수에 대하여 근과계수의 관계를 적용



오일러-맥클로린 공식을 활용한 오일러의 수치계산

<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math>

<math>f(x)=\frac{1}{x^2}</math>에 대해 적용함.

<math>\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}</math>, <math>f(x)=\frac{1}{x^2}</math>, <math>f'(x)=-\frac{2}{x^3}</math>, <math>f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}</math>, <math>f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}</math>, <math>f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{k!}{x^{k+1}}</math>

<math>\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}B_k(\frac{1}{n^{k+1}}-1) </math>

<math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots</math>

여기서 오일러는 <math>n\to\infty</math> 일때 다음식이 참이라고 가정(사실은 발산함)

<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{30}+\frac{1}{42}-\frac{1}{30}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}</math>

그 다음, <math>n=10</math> 인 경우에 다음식을 계산하여, 값을 비교함.

<math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{30n^5}+\frac{1}{42n^7}-\frac{1}{30n^9}</math>

<math>1.6449340668474930714\cdots=1.5397677311665406904\cdots + 0.10516633568095238095\cdots</math>

<math>\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots</math>



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