다이로그 항등식 (dilogarithm identities)

수학노트
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개요

<math>\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)</math>
  • Polylogarithm ladder라 불리기도 한다
  • 모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다


원분다항식과 dilogarithm 항등식

  • 원분다항식 (단위근에 대한 원분다항식(cyclotomic polynomial) 과는 의미가 다르나 이미 용어가 굳어져 널리 사용됨):<math>\prod_{r}(1-x^r)^{e_r}=x^{e_0}</math> 여기서 <math>e_i</math> 는 정수, <math>r</math>은 자연수
  • 대응되는 dilogarithm 항등식:<math>\sum_{r}\frac{e_r}{r}L(x^r)=cL(1)</math> 여기서 c 는 유리수



유리수

  • 오일러:<math>L(1)=\frac{\pi^2}{6}</math>:<math>-2L(-1)=L(1)</math>:<math>2L(\frac{1}{2})=L(1)</math>
  • Lewin:<math>L(\frac{1}{2^6})-2L(\frac{1}{2^3})-6L(\frac{1}{2^2})+2L(1)=0</math>:<math>L(\frac{1}{3^2})-6L(\frac{1}{3})+2L(1)=0</math>
  • ???:<math>2 L\left(\frac{1}{p}\right)+\sum _{j=2}^{p-1} L\left(\frac{1}{j^2}\right)=L(1)</math>



2차식

<math>5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)</math>:<math>5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)</math>
  • 콕세터(1935) <math>\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)</math>라 두자
<math>L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7}{5}L(1)</math>
<math>L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)-\frac{21}{5}L(1)</math>
<math>L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{6}{5}L(1)</math>
  • Lewin
<math>L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{1}{5}L(1)</math>
  • Lewin
<math>L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)</math>

여기서 <math>x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}</math>

  • Browkin
<math>L(x^6)-6L(x^3)+3L(x^2)+18L(x)=8L(1)</math>
<math>L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)</math>

여기서 <math>x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}, z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}</math>

<math>4L(\sqrt{2}-1)-L((\sqrt{2}-1)^2)=\frac{3}{2}L(1)</math>
<math>4L(\frac{\sqrt{5}-1}{2})-L((\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2)=2L(1)</math>
<math>4L(\sqrt{5}-2)-L((\sqrt{5}-2)^2)=L(1)</math>
  • Loxton
<math>12L(\beta)+3L(\beta^{2})-2L(\beta^{3})=5L(1)</math>
<math>12L(\gamma)-9L(\gamma^{2})-2L(\gamma^{3})+L(\gamma^6)=3L(1)</math>

여기서 <math>\beta=\frac{\sqrt{3}-1}{2},\gamma=\sqrt{3}-1</math>.

3차식

  • 왓슨 <math>\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}</math> 가 방정식<math>x^3+2x^2-x-1=0</math> 의 해라고 하자.
<math>7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0</math>
<math>7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0</math>
<math>7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0</math>
  • Loxton & Lewin <math>x, -y, -z^{-1}</math>가 방정식 <math>x^3+3x^2-1=0</math>의 해라고 하자.
<math>3L(x^3)-9L(x^2)-9L(x)+7L(1)=0</math>
<math>3L(y^6)-6L(y^3)-27L(y^2)+18L(y)+2L(1)=0</math>
<math>3L(z^6)-6L(z^3)-27L(z^2)+18L(z)-2L(1)=0</math>
  • Gordon & McIntosh <math>a, -b, -c^{-1}</math>가 방정식 <math>x^3+6x^2+3x-1=0</math>의 해라고 하자.
<math>2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0</math>
<math>2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0</math>
<math>2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0</math>

4차식

  • Gordon & McIntosh <math>\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}}-1)/2</math> 는 방정식 <math>x^4+2x^3-x-1=0</math>의 해:<math>5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0</math>:<math>L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0</math>



etc

<math>\sum_{i=1}^{k}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}})=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}</math>

http://www.jstor.org/stable/2152925




역사



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'polylogarithm'}]
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