두자연수가 서로소일 확률과 리만제타함수

개요

• 두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때, 둘이 서로소일 확률
• 답은 리만제타함수의 값 <math>\zeta(2)</math> 와 관련있음.

두 자연수가 소수 p를 공약수로 가질 확률은 <math>\frac{1}{p^2}</math>가 된다.

따라서 두 자연수가 서로소일 확률은, 모든 소수 p에 대하여 p를 공약수로 갖지 않을 확률을 곱한 것이 된다. 즉,

<math>\prod_{p\text{:prime}}1-\frac{1}{p^2}=\prod_{p\text{:prime}}1-p^{-2}</math>

그런데 이 녀석, 지난 글에 등장한 공식과 좀 닮아있지 않은가?

<math>\zeta(s)=\prod_{p\text{:prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}</math>

이를 활용하면,

<math>\prod_{p\text{:prime}}1-\frac{1}{p^2}=\frac{1}{\zeta(2)}</math>

그래서 답이 나왔다.

두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때,둘이 서로소일 확률은

<math>\frac{6}{\pi^2}\approx0.6079271\cdots</math> 이 문제 어디에 도대체 원이 숨어있단 말인가?

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