디리클레 L-함수의 special values
개요
- <math>s=1</math> 에서의 값이 중요한 이유
- <math>\chi\neq 1</math> 인 경우에 대해서, 디리클레는 <math>L(1,\chi)\neq 0 </math> 임을 보여 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명하였다
- 이차수체 <math>K</math>의 경우 <math>L_{d_K}(1)</math> 의 값은 이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식 과 밀접하게 관련되어 있음
<math>L(1-n,\chi)</math>의 값
- <math>n</math>이 1이상의 정수라 하자.
- <math>\chi\neq 1</math>인 primitive 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 <math>L(1-n,\chi)</math>의 값은 다음과 같이 주어진다
- <math>L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})=-\frac{B(n,\chi)}{n}</math>
여기서 <math>B_n(x)</math> 는 베르누이 다항식
- <math>B_0(x)=1,\,B_1(x)=x-1/2,\,B_2(x)=x^2-x+1/6\cdots,</math>
<math>B(n,\chi)</math>는 일반화된 베르누이 수
- <math>
\sum_{n=0}^{\infty}B(n,\chi)\frac{t^n}{n!}=\sum_{a=1}^{f-1}\frac{\chi(a)t e^{at}}{e^{mt}-1} </math>
- 정수에서의 리만제타함수의 값은 다음과 같이 주어진다
- <math>\zeta(1-n)=-\frac{B_{n}}{n}, n \ge 1</math>
테이블
- 이차수체의 판별식 <math>d_K</math>에 대해 <math>\chi_{d_K}=\left(\frac{d_K}{\cdot}\right)</math>를 생각하자
- <math>L(1-n,\chi_{d_K})</math>의 값은 다음과 같다
\begin{array}{c|cccccccccc} {d_K \ddots n} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline -20 & 2 & 0 & -30 & 0 & 3522 & 0 & -1066590 & 0 & 604935042 & 0 \\ -19 & 1 & 0 & -22 & 0 & 2690 & 0 & -757582 & 0 & \frac{7416887270}{19} & 0 \\ -15 & 2 & 0 & -16 & 0 & 992 & 0 & -165616 & 0 & 52548032 & 0 \\ -11 & 1 & 0 & -6 & 0 & \frac{2550}{11} & 0 & -21726 & 0 & 3749250 & 0 \\ -8 & 1 & 0 & -3 & 0 & 57 & 0 & -2763 & 0 & 250737 & 0 \\ -7 & 1 & 0 & -\frac{16}{7} & 0 & 32 & 0 & -1168 & 0 & \frac{565184}{7} & 0 \\ -4 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{5}{2} & 0 & -\frac{61}{2} & 0 & \frac{1385}{2} & 0 \\ -3 & \frac{1}{3} & 0 & -\frac{2}{9} & 0 & \frac{2}{3} & 0 & -\frac{14}{3} & 0 & \frac{1618}{27} & 0 \\ 5 & 0 & -\frac{2}{5} & 0 & 2 & 0 & -\frac{134}{5} & 0 & 722 & 0 & -\frac{825502}{25} \\ 8 & 0 & -1 & 0 & 11 & 0 & -361 & 0 & 24611 & 0 & -2873041 \\ 12 & 0 & -2 & 0 & 46 & 0 & -3362 & 0 & 515086 & 0 & -135274562 \\ 13 & 0 & -2 & 0 & 58 & 0 & -\frac{66926}{13} & 0 & 935338 & 0 & -289094342 \\ 17 & 0 & -4 & 0 & 164 & 0 & -23164 & 0 & \frac{119803588}{17} & 0 & -3704043004 \\ \end{array}
<math>L(1,\chi)</math>의 값
- <math>\chi\neq 1</math>인 primitive 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>에 대하여 <math>L(1,\chi)</math>의 값은 다음과 같이 주어짐
- <math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})</math>
- 여기서 <math>\tau(\chi)</math>에 대해서는 가우스 합 항목 참조
- <math>\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}</math>
- <math>\tau(\chi)=\tau_1(\chi)</math>
- 좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음
- <math>
L(1,\chi) = \begin{cases} \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a) a\label{L1odd}\,\mbox{ if }\chi(-1)=-1 \\ -\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f})\,\mbox{ if } \chi(-1)=1. \end{cases} </math>
이차수체의 <math>L(1,\chi_{d_K})</math>
- 이차수체 <math>K</math>, <math>d_K</math>는 판별식 <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 준동형사상 <math>\chi_{d_K} \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math> 은 다음 조건에 의해 유일하게 결정됨
- <math>\chi_{d_K}(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math>
<math>q \geq 2</math> 는 소수라 가정하자.
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math>, <math>q \geq 3</math> , <math>q \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우
<math>d_K=-q</math>
<math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>
<math>\chi(-1)=-1</math>, <math>\tau(\chi)=i\sqrt{q}</math>
<math>L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a</math>
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})</math> , <math>q \geq 5</math>, <math>q \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우
<math>d_K=q</math>
<math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>
<math>\chi(-1)=1</math>, <math>\tau(\chi)=\sqrt{q}</math>
<math>L(1,\chi)=-\frac{\sqrt{q}}{q}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\log(\sin \frac{a\pi}{q})</math>
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math> , <math>q \geq 1</math> , <math>q \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우
<math>d_K=-4q</math>
<math>\chi(-1)=-1</math>, <math>\tau(\chi)=2i\sqrt{q}</math>
소수 <math>p \neq 2 , q</math>에 대하여
<math>p \equiv 1 \pmod{4}</math>이면
<math>\chi(p)=\left(\frac{-4q}{p}\right)=\left(\frac{-q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)</math>
<math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>이면
<math>\chi(p)=\left(\frac{-4q}{p}\right)=\left(\frac{-q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)</math>
따라서
<math>\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)</math>
일반적인
<math>n\in \mathbb{Z}</math>, <math>(n,4q)=1</math> 에 대해서는
<math>\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)</math>
<math>L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}\sum_{(a,4q)=1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right) a</math>
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})</math> , <math>q \geq 3</math>, <math>q \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우
<math>d_K=4q</math>
<math>\chi(-1)=1</math>, <math>\tau(\chi)=2\sqrt{q}</math>
소수 <math>p \neq 2 , q</math>에 대하여
<math>p \equiv 1 \pmod{4}</math>이면
<math>\chi(p)=\left(\frac{4q}{p}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)</math>
<math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>이면
<math>\chi(p)=\left(\frac{4q}{p}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)</math>
따라서
<math>\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)</math>
일반적인
<math>n\in \mathbb{Z}</math>, <math>(n,4q)=1</math> 에 대해서는
<math>\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)</math>
<math>L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right)\log(\sin \frac{a\pi}{4q})</math>
이차잉여에의 응용
7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 와 <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{p}\right)</math> 를 정의하자.
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math> 라 두면, <math>d_K=-p</math>이며 <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{p}\right)</math> 는 <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시킨다.
<math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 이므로 <math>\chi(-1)=-1</math>이고, \ref{L1odd}로부터
- <math>L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}</math>
를 얻고, 다른 한편으로 이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식으로부터
- <math>L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}</math>
을 얻는다.
가우스 합은 <math>\tau (\chi)=i\sqrt p</math> 이므로 위의 두 값을 비교하면,
- <math>h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}</math>
이로부터 소수 <math>p</math>에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.
관련된 항목들