로그 적분(logarithmic integral)

수학노트
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개요

  • 적분으로 정의되는 함수:<math>\operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx</math>



로그적분의 초등함수 표현

  • 다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 (부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms) 참조) (정리 ) 리우빌, 1835:<math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면, (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다. (i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다. (ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다.
  • 로그적분에의 적용 (증명):<math>\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\log x</math> 리우빌의 정리에 의하여, 미분방정식 <math>\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)</math>를 만족시키는 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하지 않음을 보이면 된다. 먼저 유리함수 <math>R(x)</math>는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 <math>p(x), q(x)</math> (<math>q(x)</math>는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식 <math>R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> 로 쓸 수 있다. :<math>q(z)</math>가 <math>z=z_0</math>에서 복소해를 갖는다고 하고, <math>{\mu}\geq 1</math>를 그 multiplicity로 두자. <math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu}</math>, <math>R'(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math> 이다.:<math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R'(z)+R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math>이고, <math>\frac{1}{z}</math> 는 0근방에서만 크기가 1인 특이점을 가지므로, :<math>\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)</math>에 모순이다. ■



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  • [{'LOWER': 'logarithmic'}, {'LOWER': 'integral'}, {'LEMMA': 'function'}]
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