매개화된 곡면

개요

곡면의 매개화:<math>\mathbf{r}(u,v)=\left(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\right)</math>, <math>(u,v)\in D</math>
단위법선벡터(unit normal vector) - 곡면의 향을 결정:<math>\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}_ {v}\times \mathbf{r}_{v}}{|\mathbf{r}_ {v}\times \mathbf{r}_{v}|}</math> 또는 <math>\mathbf{n}=-\frac{\mathbf{r}_ {v}\times \mathbf{r}_{v}}{|\mathbf{r}_ {v}\times \mathbf{r}_{v}|}</math> 이 때, <math>\mathbf{r}_{u}(u,v)=\left(x_u,y_u,z_u \right)</math>, <math>\mathbf{r}_{v}(u,v)=\left(x_v,y_v,z_v \right)</math>

2변수 함수의 그래프로 주어지는 곡면 :<math>\mathbf{r}(x,y)=\left(x,y,f(x,y)\right), (x,y)\in D</math>
구면(sphere) :<math>X(u,v)=R(\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v), 0<u<2\pi, 0<v<\pi</math>
원통(cylinder) :<math>\mathbf{r}(\theta,z)=\left(r\cos \theta,r\sin \theta,z\right), 0\le \theta \le 2\pi, -\infty\le z \le \infty </math>
회전으로 얻어지는 곡면
- 평면 상에서 <math>(f(v), g(v))</math>로 매개화된 곡선을 y축을 중심으로 회전하여 얻어지는 곡면 :<math>\mathbf{r}(u,v)=(f(v) \cos (u),f(v) \sin (u),g(v))</math>

Greco, Gabriele H., Sonia Mazzucchi, and Enrico M. Pagani. “Peano on Definition of Surface Area.” arXiv:1412.2691 [math], December 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.2691.