바이어슈트라스 치환

수학노트
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개요

  • <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수라고 가정
  • <math>R(\cos x, \sin x)</math>의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸기 위해 바이어슈트라스 치환을 사용한다:<math>t=\tan \frac{x}{2}</math>



바이어슈트라스 치환

  • 다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 바이어슈트라스 치환 이라 한다):<math>t=\tan \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}</math>, <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math>, <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>:<math>\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt</math>



쌍곡함수의 바이어슈트라스 치환

  • <math>R(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분에 응용할 수 있다
  • 다음과 같은 치환적분을 사용:<math>t=\tanh \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}</math>, <math>\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}</math>, <math>\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}</math>:<math>\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt</math>




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  • [{'LOWER': 'tangent'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'angle'}, {'LEMMA': 'formula'}]
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