베버(Weber) 모듈라 함수

수학노트
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개요

  • 모듈라 함수
  • 베버의 class invariant 라는 이름으로 잘 알려져 있으며, 베버는 Schläfli 함수로 불렀음
  • class field theory에서 중요한 역할
  • q-초기하급수의 형태로 표현됨



정의

  • 다음과 같이 세 함수를 정의
<math>\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})</math>
<math>\mathfrak{f}_ 1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})</math>
<math>\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})</math>

여기서 <math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math> 는 데데킨트 에타함수


모듈라 성질

  • <math>\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_ 1(\tau)</math>
  • <math>\mathfrak{f}_ 1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)</math>
  • <math>\mathfrak{f}_ 2(\tau+1)=\zeta_{24}\mathfrak{f}_ 2(\tau)</math>
  • <math>\mathfrak{f}(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}(\tau)</math>
  • <math>\mathfrak{f}_ 1(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 2(\tau)</math>
  • <math>\mathfrak{f}_ 2(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 1(\tau)</math>



항등식

  • 다음의 항등식을 만족한다
<math>\mathfrak{f}_ 1(2\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2</math>
<math>\mathfrak{f}(\tau)\mathfrak{f}_ 1(\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2</math>
<math>\mathfrak{f}(\tau)^8=\mathfrak{f}_ 1(\tau)^8+\mathfrak{f}_ 2(\tau)^8</math>



j-불변량과의 관계

<math>\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}(\tau)^{24}-16}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}</math>
<math>\gamma_3(\tau)= \frac{(\mathfrak{f}(\tau)^{24} + 8) (\mathfrak{f}_ 1(\tau)^8 - \mathfrak{f}_ 2(\tau)^8)}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt{j(\tau)-1728}</math>

special values

  • 타원 모듈라 j-함수의 singular moduli
  • <math>\mathfrak{f}(i)^8=4</math>
  • <math>\mathfrak{f}_ 1(i)^8=2</math>
  • <math>\mathfrak{f}_ 2(i)^8=2</math>
  • <math>\mathfrak{f}_ 1(2i)^8=8</math>
  • If <math>\tau=\sqrt{-m}</math>, <math>m\equiv 1 \pmod 4</math>, then <math>2^{-1/8}\mathfrak{f}_2(\tau)</math> is a unit.



q-초기하급수 표현

<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} </math>
<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} </math>
  • <math>z=q</math> 인 경우
<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math>
  • 위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다
<math>f(\tau)=q^{-1/48}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-1/2})=q^{-1/48}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q^1)(1-q^2)\cdots(1-q^{n})}</math>
<math>\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math>


연분수표현

  • [Duke2005] 154p
<math>\mathfrak{f}_2(\tau)={\sqrt{2}q^{1/24} \over 1- } {q \over 1-q+} {q \over 1+q-} {q^3 \over 1-q^3+} \cdots</math>


역사



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


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