복소타원곡선

개요

• 바이어슈트라스의 타원함수

<math>

y^2=4x^3-g_2x-g_3 </math>

• 리만구면의 double cover
• branched over 4 points
• 리만곡면

타원곡선의 분류 1

• <math>y^2=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)</math>
• 네 점은 <math>0,1,\infty,\lambda</math>
• <math>y^2=x(x-1)(x-\lambda)</math>의 형태로 표현가능
• 교차비(cross ratio)

<math>\lambda_2= \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}</math> 인 경우,

<math>y^2=x(x-1)(x-\lambda)</math>와 <math>y^2=x(x-1)(x-\lambda_2)</math>는 isomorphic

• <math>\lambda \mapsto 1-\lambda</math> 와 <math>\lambda\mapsto \frac{1}{\lambda}</math>에 의해 불변인 <math>\lambda</math>의 유리함수 <math>256\frac{\lambda^2-\lambda+1}{\lambda^2(\lambda-1)^2}</math>

타원곡선의 분류2

• 복소평면에 있는 격자의 homothety를 이용한 분류
• 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)