분할수의 생성함수(오일러 함수)

수학노트
둘러보기로 이동 검색으로 이동

개요

  • 분할수의 생성함수를 오일러함수라고도 하며 다음과 같이 정의한다
<math>F(q):=\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n</math> 여기서 <math>p(n)</math> 은 <math>n</math>의 분할수
  • 다음과 같이 무한곱으로 표현가능하다
<math>F(q) = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math>
  • 급수 전개
<math>F(q)= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots</math>



오일러의 오각수정리

<math>\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2} \label{penta}</math>
  • 급수로 표현하면 다음과 같다 :<math>(1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots</math>
  • \ref{penta}는 오일러함수의 역수이며 (거의) 데데킨트 에타함수 이다


q가 1에 가까울 때의 근사공식

(정리) <math>q\to 1</math> 일 때,

<math>F(q) \sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)})</math>

(Hardy's book 'Ramanujan' on partition asymptotics)

(증명) 로그를 취하면 다음을 얻는다

<math>\log F(q)= \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} =\sum_{m=1,n=1}^{\infty}\frac{q^{mn}}{m}=\sum_{m=1}\frac{q^m}{m(1-q^m)}</math>

<math>1-q^m=(1-q)(1+q+\cdots+q^{m-1})</math> 와 <math>0<q<1</math> 을 이용하면, <math>mq^{m-1}(1-x)<1-q^m<m(1-q)</math> 이다. 따라서,

<math>\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}< \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} <\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}</math>

q가 1에 가까워질 때,

<math>\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6},</math>
<math>\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6}</math>

이므로,

<math>F(q)\sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)})</math> ■
  • <math>q=e^{-\epsilon}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, 모든 <math>N</math>에 대하여 다음이 성립한다
<math>\log F(q) \sim \frac{\pi^2}{6\epsilon}-\frac{1}{2}\log(\frac{2\pi}{\epsilon})-\frac{\epsilon}{24}+O(\epsilon^N)</math>

이는 데데킨트 에타함수의 모듈라 성질로부터 얻을 수 있다


분할수의 근사공식

<math>p(n) \sim \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math>


q-초기하급수 형태로의 표현


(정리)

<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n}= \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math>


(증명)

오일러의 무한곱공식을 적용.

<math>\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math> ■



(정리) (Durfee square identity)

<math>

F(q)= 1+\sum_{n=1}\frac{q^{n^2}}{(1-q)^2(1-q^2)^2\cdots(1-q^n)^2} </math>


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=분할수의_생성함수(오일러_함수)&oldid=33158"