세르 관계식 (Serre relations)

개요

l : 리대수 <math>\mathfrak{g}</math>의 rank
<math>(a_{ij})</math> : 카르탄 행렬
생성원 <math>e_i,h_i,f_i , (i=1,2,\cdots, l)</math>
세르 관계식
- <math>\left[h_i,h_j\right]=0</math>
- <math>\left[e_i,f_j\right]=\delta _{i,j}h_i</math>
- <math>\left[h_i,e_j\right]=a_{i,j}e_j</math>
- <math>\left[h_i,f_j\right]=-a_{i,j}f_j</math>
- <math>\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0</math> (<math>i\neq j</math>)
- <math>\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0</math> (<math>i\neq j</math>)
ad 는 adjoint 의 약자
- <math>\left(\text{ad} x\right){}^{3}\left(y\right)=[x, [x, [x, y]]]</math>
- <math>\left(\text{ad} x\right){}^{4}\left(y\right)=[x, [x, [x, [x, y]]]]</math>

카르탄 행렬:<math>\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)</math>
<math>i\neq j</math> 일 때:<math>\left(\text{ad} e_i\right){}^{2}\left(e_j\right)=[e_i, [e_i,e_j]]=0</math>:<math>\left(\text{ad} f_i\right){}^{2}\left(f_j\right)=[f_i, [f_i,f_j]]=0</math>
<math>e_1,e_2,h_1,h_2,f_1,f_2, \left[e_1,e_2\right], \left[f_1,f_2\right]</math>는 리대수의 기저가 된다

카르탄행렬이 <math>(a_{ij})</math> 로 주어지는 리대수 <math>\mathfrak{g}</math>의 UEA <math>U(\mathfrak{g})</math> 에서 다음의 두 식

<math>\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0, \quad i\neq j</math>

<math>\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0, \quad i\neq j</math>

다음과 같이 표현할 수 있다:<math>\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}e_{i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_{i}^k=0</math>:<math>\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}f_{i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_{i}^k=0</math>
풀어 쓰면 다음과 같은 형태가 된다:<math>x\otimes x\otimes y-2 x\otimes y\otimes x+y\otimes x\otimes x</math>:<math>x\otimes x\otimes x\otimes y-3 x\otimes x\otimes y\otimes x+3 x\otimes y\otimes x\otimes x-y\otimes x\otimes x\otimes x</math>:<math>x\otimes x\otimes x\otimes x\otimes y-4 x\otimes x\otimes x\otimes y\otimes x+6 x\otimes x\otimes y\otimes x\otimes x-4 x\otimes y\otimes x\otimes x\otimes x+y\otimes x\otimes x\otimes x\otimes x</math>