오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식

수학노트
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개요

  • q-초기하급수의 무한곱
<math>(-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
<math>\frac{1}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>


보존 오일러 공식

N개의 보존 입자가 있고, 에너지의 단위를 <math>\hbar\omega=1</math>으로 하여, 에너지레벨이 <math>E_0,E_1,E_2,\cdots</math> 인 시스템을 생각하자.

N개의 입자가 있는 보존 시스템의 분배함수를 <math>Z_B(N)</math> 이라 두자.

큰 분배함수(grand partition function)는 <math>Z_G=\sum_{n=0}^{\infty}Z_B(N)z^N</math> 으로 쓸수 있다.

<math>n_0,n_1,n_2,\cdots</math> 은 각각 에너지가 <math>E_0,E_1,E_2,\cdots</math>인 입자의 수라고 하면, 분배함수 <math>Z_B(N)</math>는 다음과 같이 표현된다

<math>Z_B(N)=\sum_{\sum n_r=N}\exp(-\beta\sum_{r}n_r E_r)</math>

큰 분배함수 <math>Z_G(N)</math>는 다음과 같이 주어진다

<math>

\begin{aligned} Z_G&=\sum_{N=0}^{\infty}Z_B(N)z^N=\sum_{N=0}^{\infty} \sum_{\sum n_r=N}\exp(-\beta\sum_{r}n_r E_r)z^N\\ {}&=\prod_{r=0}^{\infty}\sum_{n_r=0}^{\infty} (ze^{-\beta E_r})^{n_r}=\prod_{r=0}\frac{1}{1-ze^{-\beta E_r}} \end{aligned} </math>

특수한 경우

이제 N개의 보존 입자가 있고, 에너지의 단위를 <math>\hbar\omega=1</math>으로 하여, 에너지레벨이 <math>0,1,2,\cdots</math> 인 시스템을 생각하자. <math>E_r=r</math>, <math>q=e^{-\beta}=e^{-\hbar \omega}</math>

여기에 보존 오일러 공식을 이용하면,

<math>\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>

따라서 N개의 보존이 있는 경우의 분배함수는 다음과 같이 쓸 수 있다

<math>Z_B(N)=\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^N)}.</math>



페르미온 오일러 공식

다음과 같이 보존 시스템과 페르미온 시스템 사이에 일대일대응을 만들 수 있다. 보존 시스템의 각 입자의 에너지가 <math>0\leq n_1^B\leq n_2^B\leq \cdots\leq n_N^B</math> 인 경우와 페르미온 시스템의 각 입자의 에너지가 <math>0\leq n_1^F< n_2^F< \cdots< n_N^F</math> 인 경우, <math>n_j^B=n_j^F-j+1</math>로 두면, 일대일 대응을 얻는다.


분배함수

보존의 경우 전체 에너지는 <math>E^B=n_1^B+ n_2^B+ \cdots+ n_N^B</math>이고, 페르미온의 경우 전체 에너지는

<math>E^F=n_1^F+ n_2^F+ \cdots+ n_N^F=n_1^B+ n_2^B+ \cdots+ n_N^B+0+1+2+\cdots+N-1=E^B+\frac{N(N-1)}{2}=E^B+{N\choose 2}</math>가 된다.

따라서 N개의 입자가 있는 보존 시스템의 분배함수는 <math>Z_B(N)=\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^N)}</math> 이 된다.

페르미온 시스템의 분배함수는

<math>Z_F(N)=\frac{q^{N \choose 2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^N)}=\frac{q^{N \choose 2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^N)}</math> 이 된다. 여기서 <math>q=e^{-\beta\hbar\omega}</math>.

큰 분배함수(grand partition function)는

<math>Z_G=\sum_{n=0}^{\infty}Z_F(n)z^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n \choose 2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}z^n \label{gpf}</math> 으로 표현된다. 여기서 <math>z=e^{\beta\mu}</math>.

오일러의 공식으로부터 다음을 얻는다

<math>Z_G=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n).</math>


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