원환면 (torus)
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개요
매개화
- 매개화
- <math>X(u,v)=\{\cos (u) (a+b \cos (v)),\sin (u) (a+b \cos (v)),b \sin (v)\}</math>:<math>0<u<2\pi</math>, <math>0<v<2\pi</math>
- <math>X_u=\{\sin (u) (-(a+b \cos (v))),\cos (u) (a+b \cos (v)),0\}</math>:<math>X_v=\{-b \cos (u) \sin (v),-b \sin (u) \sin (v),b \cos (v)\}</math>
- <math>N=\{b \cos (u) \cos (v) (a+b \cos (v)),b \sin (u) \cos (v) (a+b \cos (v)),b \sin (v) (a+b \cos (v))\}</math>
- 왼쪽 그림의 붉은 색 작은 원을 y-축에 대하여 회전하여, 오른쪽 원환면을 얻는다
-> 
1.gif)
2.gif)
제1기본형식
- <math>E=(a+b \cos (v))^2</math>
- <math>F=0</math>
- <math>G=b^2</math>
크리스토펠 기호
- 크리스토펠 기호 항목 참조:<math>\Gamma^1_{11}=0</math>:<math>\Gamma^1_{12}=-\frac{b \sin (v)}{a+b \cos (v)}</math>:<math>\Gamma^1_{21}=-\frac{b \sin (v)}{a+b \cos (v)}</math>:<math>\Gamma^1_{22}=0</math>:<math>\Gamma^2_{11}=\frac{\sin (v) (a+b \cos (v))}{b}</math>:<math>\Gamma^2_{12}=0</math>:<math>\Gamma^2_{21}=0</math>:<math>\Gamma^2_{22}=0</math>
측지선
- 측지선 이 만족시키는 미분방정식:<math>\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0</math>
- 풀어쓰면, :<math>\frac{d^2 u}{dt^2} -\frac{2b \sin (v)}{a+b \cos (v)}\frac{du }{dt}\frac{dv }{dt} = 0</math>:<math>\frac{d^2 v}{dt^2} + \frac{\sin (v) (a+b \cos (v))}{b}\frac{du }{dt}\frac{du }{dt} = 0</math>
가우스곡률
- 가우스곡률 항목 참조:<math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)=\frac{\cos (v)}{a b+b^2 \cos (v)}</math>
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들