유한아벨군과 이산 푸리에 변환
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개요
- <math>G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}</math>와 준동형사상 <math>f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>의 경우
<math>\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}</math>
여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/N}</math>
가우스합에의 응용
- <math>a\in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}</math>와 곱셈에 대한 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함
<math>g_a(\chi) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) \zeta^{a t}</math>
여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/N}</math>
- 성질:<math>g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)</math>:<math>\chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}</math>
이차잉여 캐릭터와 푸리에 변환
<math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})</math>
Jacobi symbol
<math>f(n)=(\frac{d_K}{n})</math>
Fourier transform
<math>\hat{f}(n)=\sum_{k\pmod {d_K}} (\frac{d_K}{k})e^{2\pi i kn/|d_K|}</math>
<math>f(n)=\hat{f}(n)/\hat{f}(1)</math>