점화식, 미분방정식, 선형대수학

개요

<math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0</math> 꼴의 점화식

점화식의 해가 되는 수열들의 집합은 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.

특성방정식 <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 가 서로 다른 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 를 갖는 경우.

수열 <math>\alpha^{n}</math>와 <math>\beta^{n}</math>는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>a_n = A\alpha^{n} + B\beta^{n}</math> 꼴로 주어진다.

특성방정식 <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 가 중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우

수열 <math>\alpha^{n} </math>와 <math>n\alpha^{n} </math>는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 <math>a_n = A\alpha^{n} + Bn\alpha^{n}</math> 꼴로 주어진다.

(증명)

수열 <math>n\alpha^{n} </math>이 점화식의 해가 되는지를 확인하면 된다.

<math>p(n+2)\alpha^{n+2} + q(n+1)\alpha^{n+1} + rn\alpha^{n} =(n(p\alpha^2+q\alpha+r)+(2p+q)) \alpha^n=0</math>

여기서 <math>px^2 + qx + r = 0 </math>가 중근 <math>\alpha</math>을 가지므로 <math>p\alpha^2+q\alpha+r=0, 2p+q=0</math>이다.

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선형미분방정식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.

특성방정식 <math>ax^2 + bx + c = 0 </math> 가 서로 다른 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 를 갖는 경우.

함수 <math>e^{\alpha t}</math>와 <math>e^{\beta t}</math>는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t}</math> 꼴로 주어진다.

특성방정식 <math>ax^2 + bx + c = 0 </math> 가 중근을 <math>\alpha</math> 를 갖는 경우.

함수 <math>e^{\alpha t}</math>와 <math>te^{\beta t}</math>는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t}</math> 꼴로 주어진다.

(증명)

<math>ax^2 + bx + c = 0 </math>가 중근 <math>\alpha</math>을 가지므로 <math>a\alpha^2+b\alpha+c=0, 2a+b=0</math>이다.

<math>y(t) = te^{\alpha t}</math> 라 하자.

<math>y'(t) = (\alpha t+1)e^{\alpha t}</math>

<math>y(t) = (\alpha^2 t+2\alpha)e^{\alpha t}</math>

미분방정식에 대입하면,

<math>ay(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0</math> ■