치환적분과 변수분리형 미분방정식

수학노트
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개요

  • 미분방정식을 처음배우면, 아래처럼 변수분리로 해결하는 경우가 있다. :<math>\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}</math>:<math>{g(y)}{dy}={f(x)}{dx}</math>:<math>\int {g(y)}{dy}=\int {f(x)}{dx}</math>
  • 그 다음 양변을 적분한뒤, y를 x의 함수로 쓴다. 이것은 왜 가능할까?



설명

사실 이런 표현을 쓰는 것이 이것이 처음이 아니다. 아마 내 기억에는 수학의정석에서도 치환적분에서 이런 표현을 쓰지 않았나 생각이 든다.



<math>y</math>가 <math>x</math>의 함수라면 치환적분의 공식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math>\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx</math>


예)

<math>\int \sin^2x \cos x\,dx</math> 를 구하라.


<math>y=\sin x </math>

<math>dy=\cos x\,dx</math>

<math>\int \sin^2x \cos x\,dx=\int y^2 dy=\frac{1}{3}y^3+C=\frac{1}{3}\sin^3 x+C</math>



이제부터 <math>y</math>가 <math>x</math>의 함수일때, <math>dy</math> 라는 표현은 <math>dy=y'(x)dx</math> 라고 이해한다.

이러한 표현이 정당화되는 이유는 치환적분의 공식이 참이기 때문이다. (치환적분의 공식 ~ 합성함수의 미분에 관한 연쇄법칙이다)


사실 우리가 적분을 할때는 함수 <math>f(x)</math> 가 필요한 것이 아니라 <math>f(x)dx</math> 와 같은 것이 필요하다.

그러므로 <math>f(x)dx</math>와 같은 녀석들에게 따로 이름을 붙일 필요가 있겠다.

그래서 좀더 일반적으로 이러한 녀석들을 미분형식(differential form) 이라 한다. (일반적인 정의에 대해서는 나중에 따로...)

그리고 미분형식에는 적분기호 <math>\int</math>를 씌울수 있다.


기억하자. 적분기호는 함수에 씌우는 것이 아니라 미분형식에 씌우는 것이라고.

<math>\omega</math> 가 미분형식이라면, <math>\int \omega</math> 와 같은 표현은 올바른 표현인 것이다.


미적분학에의 핵심적인 것으로 스토크스의 정리가 있는데, 이는 다양한 미분 적분 공식들의 일반화이기 때문이다. 그리고 스토크스정리는 미분형식을 써야 다음과 같이 아름답게 표현할 수 있다.

<math>\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega</math>


이제 다시 처음의 질문으로 돌아가면,


<math>\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}</math>

라는 표현에는 문제가 없다. 그 다음


<math>{g(y)}{dy}={f(x)}{dx}</math>

라는 표현은 미분형식들 사이에 성립하는 다음과 같은 등식이라고 할 수 있다.

<math>{g(y)}{dy}=g(y(x))}y'(x)dx=f(x)dx</math>

그리고 이 녀석은 뜯어보자면,

<math>y'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y(x))}</math>

와 같은 표현인데, 단지 함수 사이의 등식인가 미분형식 사이의 등식인가 차이가 있을 뿐이다.

마지막으로

<math>\int {g(y)}{dy}=\int {f(x)}{dx}</math>

<math>\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx=\int f(x)dx</math>

이므로 결국 모든 것은 치환적분의 공식에서 기원했음을 알 수 있다.


결론적으로 말하자면 변수분리의 방식으로 미분방정식을 풀때, <math>{g(y)}{dy}={f(x)}{dx}</math> 라고 해도 되는 것임? 이렇게 묻는다면 그렇게 해도 된다라고 말할 수 있다.

이것이 미분형식들 사이의 등식이며 <math>dy=y'(x)dx</math> 임을 받아들이고, 미분형식에는 적분기호를 씌울수 있다는 사실을 안다면.



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