켤레복소수
개요
- 복소수 <math>z=x+i y</math> (<math>x,y</math>는 실수)에 대하여 켤레복소수 <math>\bar{z}</math>는 <math>\bar{z}=x-iy</math>로 정의된다
실계수 방정식과 켤레복소수
<math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}</math>
<math>\{\operatorname{id}, \sigma\}</math>
<math>\sigma^2(z)=\bar{\bar{z}}=z</math>
(정리)
복소수 <math>\alpha+\beta i</math> (<math>\alpha, \beta</math>는 실수)가 실계수방정식 <math>f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>, (<math>a_n\neq 0 </math>) 의 해이면, 켤레복소수 <math>\alpha-\beta i</math>도 이 방정식의 해이다.
(증명)
<math>z=\alpha+\beta i</math>라 두자. <math>f(z)=a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0 = 0</math> 이다.
좌변과 우변에서 각각 켤레복소수를 취하면,
<math>\overline{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0} = a_n \bar{z}^n + a_{n-1} \bar{z}^{n-1} + a_{n-2} \bar{z}^{n-2} + \cdots + a_1 \bar{z} + a_0=0</math> 을 얻는다.
따라서 <math>f(\bar{z})=f(\alpha-\beta i)=0</math> 이 된다. (증명끝)
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