히포크라테스의 초승달

수학노트
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작도와 구적가능성

  • 구적이란 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것.
  • 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말.
  • 작도문제와 구적가능성 에서 간략하게 소개되어 있음



히포크라테스의 초승달

  • 히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남김.

2981558-hippocrates.jpg

정리

어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다

  • 이 사실의 증명은 피타고라스의 정리를 사용



구적가능한 초승달

  • 초승달이란 두 원의 호 (arc)로 둘러싸인 영역을 의미
  • 두 부채꼴의 중심각의 비율을 u라 두면, 초승달은 다음의 다섯 가지 경우에만 구적가능
<math>

u=3/2,5/3,2,3,5 </math>

  • 이는 다음의 방정식을 풀어 얻어지는 <math>\sin \theta</math>가 작도가능하다는 조건으로부터 얻어진다
<math>

\left(\frac{\sin u\theta}{\sin \theta}\right)^2=u </math>

  • 아래의 그림에서 작은 원의 반지름은 1로 고정함

<math>u=3/2</math>

  • 초승달의 넓이: <math>\frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(9-\sqrt{33}\right)} = 0.552447\cdots</math>
  • 두 부채꼴의 각도 : <math>160.874^{\circ}, 107.25^{\circ}</math>

히포크라테스의 초승달1.png


<math>u=5/3</math>

  • 초승달의 넓이: <math>\frac{1}{6} \sqrt{25-5 \sqrt{25-6 \sqrt{15}}} = 0.714197\cdots</math>
  • 두 부채꼴의 각도 : <math>167.939^{\circ}, 100.764^{\circ}</math>

히포크라테스의 초승달2.png


<math>u=2</math>

  • 초승달의 넓이: <math>1</math>
  • 두 부채꼴의 각도 : <math>180^{\circ}, 90^{\circ}</math>

히포크라테스의 초승달3.png


<math>u=3</math>

  • 초승달의 넓이: <math>\frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}} = 1.61185\cdots</math>
  • 두 부채꼴의 각도 : <math>205.588^{\circ}, 68.5293^{\circ}</math>

히포크라테스의 초승달4.png


<math>u=5</math>

  • 초승달의 넓이: <math>\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} \left(-5+\sqrt{25+64 \sqrt{5}}\right)} = 2.23126\cdots</math>
  • 두 부채꼴의 각도 : <math>234.391^{\circ}, 46.8783^{\circ}</math>

히포크라테스의 초승달5.png



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  • [{'LOWER': 'hippocrates'}, {'LOWER': 'of'}, {'LEMMA': 'chio'}]
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