2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)

개요

<math>\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}</math>

convergents는 다음과 같이 주어진다 :<math>1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots </math>

정수로 이루어진 수열 <math>\{p_n\},\{q_n\}</math>를 다음과 같이 정의하자 :<math>(1 + \sqrt{2})^n=p_n+\sqrt{2}q_n, n=0,1,\cdots</math>
이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
- <math>p_{n+1}=p_n+2 q_n</math>, <math>p_0=1</math>
- <math>q_{n+1}=p_n+q_n</math>, <math>q_0=0</math>
처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
- <math>p_n</math> 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
- <math>q_n</math> 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
다음의 성질을 만족한다
- <math>p_n/q_n</math>는 루트 2로 수렴한다
- <math>p_n/q_n</math>는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
- <math>p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n}</math>
- <math>

\begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n} </math>

- <math>\{p_n\},\{q_n\}</math> 는 루카스 수열로 다음을 만족한다
  - <math>p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=1</math>
  - <math>q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=0, q_1=1</math>