"미분형식과 맥스웰 방정식"의 두 판 사이의 차이
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* electromagnetic field strength<br><math>F=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\ \frac{E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\ \frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0 \end{array} \right)</math><br> | * electromagnetic field strength<br><math>F=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\ \frac{E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\ \frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0 \end{array} \right)</math><br> | ||
| + | ** electromagnetic field strength<br><math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math><br><math>F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)</math><br> <br> | ||
* 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음<br><math>F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}</math><br><math>F=E_1 d x_1\wedge d t+B_3 d x_1\wedge d x_2+E_2 d x_2\wedge d t+B_1 d x_2\wedge d x_3+E_3 d x_3\wedge d t+B_2 d x_3\wedge d x_1</math><br> | * 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음<br><math>F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}</math><br><math>F=E_1 d x_1\wedge d t+B_3 d x_1\wedge d x_2+E_2 d x_2\wedge d t+B_1 d x_2\wedge d x_3+E_3 d x_3\wedge d t+B_2 d x_3\wedge d x_1</math><br> | ||
* 맥스웰방정식은 미분형식 F 에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다<br> | * 맥스웰방정식은 미분형식 F 에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다<br> | ||
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* <math>\star dx dy =-dzdt</math><br> | * <math>\star dx dy =-dzdt</math><br> | ||
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* 전하 밀도<math>{\rho} </math> (for point charge, density will be a Dirac delta function) | * 전하 밀도<math>{\rho} </math> (for point charge, density will be a Dirac delta function) | ||
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* [[맥스웰 방정식]] 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다<br><math>dF=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>)<br><math>d{\star F}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>, <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>)<br> | * [[맥스웰 방정식]] 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다<br><math>dF=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>)<br><math>d{\star F}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>, <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>)<br> | ||
2012년 6월 12일 (화) 03:47 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- electromagnetic field strength
\(F=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\ \frac{E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\ \frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0 \end{array} \right)\)
- electromagnetic field strength
\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)
\(F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\)
- electromagnetic field strength
- 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음
\(F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\)
\(F=E_1 d x_1\wedge d t+B_3 d x_1\wedge d x_2+E_2 d x_2\wedge d t+B_1 d x_2\wedge d x_3+E_3 d x_3\wedge d t+B_2 d x_3\wedge d x_1\) - 맥스웰방정식은 미분형식 F 에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다
- 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다
- \(F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\)
four 벡터 포텐셜 1-form
- \((A_{\alpha})= \left( - \phi, \mathbf{A} \right)=(-\phi,A_{x},A_{y},A_{z})\)
\(\phi\) 스칼라 포텐셜
\(\mathbf{A}\) 벡터 포텐셜 - 1-미분형식으로서, \(A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)
- \(F=dA\) 로부터 \(dF=0\) 를 얻는다
Hodge star 연산자
- \(\star dx dy =-dzdt\)
- \(\star dy dz =-dxdt\)
- \(\star dz dx =-dydt\)
- \(\star dx dt =dydz\)
- \(\star dy dt =dzdx\)
- \(\star dz dt=dxdy\)
전류 4-vector
- 전하 밀도\({\rho} \) (for point charge, density will be a Dirac delta function)
- 전류 밀도\(\mathbf{J}=(J_x,J_y,J_z)\)
- 전류 4-vector
\((J^a) = \left( \rho, \mathbf{J} \right)\) - 가우스법칙과 앙페르-패러데이 법칙에 나타남
\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\)
\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \) - four vector is called a conserved current if \(\partial_{a}J^{a}=0\)
- 미분형식으로 표현하면,
- 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
- dual 3-form \(\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt \)
- 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
맥스웰 방정식의 미분형식 표현
- 맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다
\(dF=0\) (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))
\(d{\star F}=\star J\) (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\), \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \))
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
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