"삼각함수"의 두 판 사이의 차이
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| + | * 단위원의 좌표로 함수가 정의되므로, 다음 공식을 만족시킨다<br><math>\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1</math><br> | ||
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2009년 12월 23일 (수) 15:02 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 중학교에서 배운 삼각비를 실수 전체에서 정의된 함수로 확장하여 얻어지는 함수
- 주기성을 가지며 삼각함수들 사이에 많은 공식이 성립
- 삼각비와 삼각함수의 차이에 대해서는 삼각비에서 삼각함수로 항목을 참조
배우기 전에 알고 있어야 하는 것들
사인과 코사인
- 단위원의 방정식
\(x^2+y^2=1\) - 원 위에서 각도함수 정의하기 작업을 통해 단위원의 각 점에 해당하는 각도 \(\theta\)를 정의할 수 있다
- 코사인과 사인함수는 각각 각도 \(\theta\)에 해당하는 단위원의 점의 x-좌표와 y-좌표로 정의된다
- 단위원의 좌표로 함수가 정의되므로, 다음 공식을 만족시킨다
\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)
- \(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)
덧셈공식
\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\)
\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\)
\(\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\)
배각공식
\(\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta\)
\(\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1\)
\(\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\)
\(\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta\)
\(\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta\)
- 더 일반적인 경우에 대해서는 삼각함수의 배각공식 표 항목과 체비셰프 다항식 참조
반각공식
\(\sin^2 \frac{\theta}{2} =\frac{1 - \cos \theta}{2}\)
\(\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}\)
삼각함수의 값
삼각함수의 급수 표현
- 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
- 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.
\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)
\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)
- 베르누이 수 참조
쌍곡함수
\(\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \\)
역사
하위페이지
관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들
관련있는 다른 과목
- 물리학
- 단진동
- 파동
- 지구과학
- 지구의 크기
- 음악
관련된 대학교 수학
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos+x
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences