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* '''수열 <math>\{a_n\}</math>이 주어진 경우,''''''다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)'''<br>''''''''''''<math>G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math>''''''''''''<br> | * '''수열 <math>\{a_n\}</math>이 주어진 경우,''''''다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)'''<br>''''''''''''<math>G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math>''''''''''''<br> | ||
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| − | + | ==디리클레급수</h5> | |
* 복소수열 <math>\{a_n\}</math>에 대하여 디리클레 급수를 다음과 같이 정의<br><math>L(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}</math><br> | * 복소수열 <math>\{a_n\}</math>에 대하여 디리클레 급수를 다음과 같이 정의<br><math>L(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}</math><br> | ||
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| − | + | ==자코비 세타함수의 경우</h5> | |
* [[자코비 세타함수]]<br><math>\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}</math><br> | * [[자코비 세타함수]]<br><math>\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}</math><br> | ||
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| − | + | ==확률론과 생성함수</h5> | |
* probability generating function | * probability generating function | ||
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| − | + | ==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5> | |
* [[수열]] (고등학교) | * [[수열]] (고등학교) | ||
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| − | + | ==관련된 항목들</h5> | |
* [[푸리에 변환]] | * [[푸리에 변환]] | ||
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| − | + | ==사전 형태의 자료</h5> | |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | + | ==표준적인 도서 및 추천도서</h5> | |
* Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, V. 23)<br> | * Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, V. 23)<br> | ||
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| − | + | ==관련논문과 에세이</h5> | |
* [http://www.jstor.org/stable/3027258 An Interesting Use of Generating Functions]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/3027258 An Interesting Use of Generating Functions]<br> | ||
2012년 10월 31일 (수) 20:44 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
==개요
- 생성함수(generating function)
- 수열\(\{a_n\}\)에 대한 정보를 담는 멱급수
- 다양한 종류의 생성함수가 있으며 수열의 성질에 따라 적합한 종류의 생성함수를 이용한다
- 해석적정수론의 중요한 아이디어
- 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
- L-함수, 제타함수와 디리클레 급수로 생성함수의 일종으로 이해할 수 있음
- 확률론에서 확률변수를 다루는데 유용한 도구
==생성함수
- 수열 \(\{a_n\}\)이 주어진 경우,'다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)'
'''''''\(G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\)'''''''
- 분할수의 생성함수(오일러 함수)
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \) - 분할수를 데데킨트 에타함수의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다
지수생성함수
- 수열 \(\{a_n\}\)이 주어진 경우,'다음과 같은 멱급수함수를 지수생성함수라 한다'
\(EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!}x^n\)
- 베르누이 수의 생성함수
\(\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}t^n=\frac{t e^{t}}{e^t-1}\) - derangement의 생성함수
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}\)
==디리클레급수
- 복소수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 디리클레 급수를 다음과 같이 정의
\(L(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\) - L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목 참조
==자코비 세타함수의 경우
- 자코비 세타함수
\(\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}\) - 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
- 가령 자코비의 네 제곱수 정리의 경우
\(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)
==확률론과 생성함수
- probability generating function
- moment generating function
- characteristic function
==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
==관련된 항목들
수학용어번역
==사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
==표준적인 도서 및 추천도서
- Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, V. 23)
- Sergei K. Lando
- generatingfunctionology
- Herbert S. Wilf,
- PDF 파일 다운받기 : http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html
==관련논문과 에세이
- An Interesting Use of Generating Functions
- Aron Pinker, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 6, No. 4 (Dec., 1975), pp. 39-45
블로그
- 고교 수학의 명장면 (2)
- 피타고라스의 창, 2008-9-30
- derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수
- 피타고라스의 창, 2008-7-26