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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
  
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* [[선형점화식]]<br>
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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*  선형점화식은 선형 미분방정식의 이론과 유사한 점이 많다.<br>
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* [[선형대수학]]이 배경이 되는 이론이다<br>
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">이계 선형점화식</h5>
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* <math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0</math> 꼴의 점화식<br>
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** <math>p+q+r =0</math> 일 때<br>
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*** 잘 정리하면 <math>a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n)</math> 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 <math>b_n = a_{n+1} - a_{n}</math> 에 대한 등차수열이라고 생각하고, <math>b_n</math> 을 구한다.
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*** 계차수열을 알 때 일반항을 구하는 건 할 수 있지?
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** <math>p+q+r \ne 0 </math> 일 때 : (교육 과정 외, 이 점화식만은 외우는 것을 권장함. 유도 과정이 너무 길다.)<br>
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***  결론부터 말하자면,<br>
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**** <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 라 하면, <math>a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}</math> 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
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**** 중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우에는 <math>a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}</math> 꼴이 된다.
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*** <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근 <math>\alpha, \beta</math> 에 대하여, <math>p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r</math> 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로<br><math>a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0</math> 라고 쓸 수 있다.<br> 이제 <math>a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 으로 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\beta a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기.<br><math>a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)</math> 로도 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기.<br> 연립해서 <math>a_{n+1}</math> 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다.<br> 이 점화식을 <math>p+q+r=0</math> 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.<br>
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*** ex) 피보나치 수열 <math>a_{n+2} =  a_{n+1} + a_n</math> 의 일반항을 구하시오. (<math>a_1 = a_ 2 = 1</math>)
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* <math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = b_n</math> 꼴의 점화식<br>
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** 양변에 적당히 <math>n</math> 에 대한 식을 더해서 공비 <math>r</math> 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
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* [[07 점화식]]<br>
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* [[상수계수 이계 선형미분방정식]]<br>
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://www.ams.org/mathscinet
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* http://dx.doi.org/
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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*  도서검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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*  구글 블로그 검색<br>
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** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
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* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
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* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
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* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]

2011년 8월 1일 (월) 14:50 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 선형점화식은 선형 미분방정식의 이론과 유사한 점이 많다.
  • 선형대수학이 배경이 되는 이론이다

 

 

이계 선형점화식
  • \(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식
    • \(p+q+r =0\) 일 때
      • 잘 정리하면 \(a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n)\) 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 \(b_n = a_{n+1} - a_{n}\) 에 대한 등차수열이라고 생각하고, \(b_n\) 을 구한다.
      • 계차수열을 알 때 일반항을 구하는 건 할 수 있지?
    • \(p+q+r \ne 0 \) 일 때 : (교육 과정 외, 이 점화식만은 외우는 것을 권장함. 유도 과정이 너무 길다.)
      • 결론부터 말하자면,
        • \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근을 \(\alpha, \beta\) 라 하면, \(a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}\) 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
        • 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우에는 \(a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}\) 꼴이 된다.
      • \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근 \(\alpha, \beta\) 에 대하여, \(p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r\) 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로
        \(a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0\) 라고 쓸 수 있다.
        이제 \(a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)\) 으로 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\beta a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기.
        \(a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)\) 로도 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\alpha a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기.
        연립해서 \(a_{n+1}\) 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다.
        이 점화식을 \(p+q+r=0\) 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.
      • ex) 피보나치 수열 \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\) 의 일반항을 구하시오. (\(a_1 = a_ 2 = 1\))
  • \(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = b_n\) 꼴의 점화식
    • 양변에 적당히 \(n\) 에 대한 식을 더해서 공비 \(r\) 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

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관련된 항목들

 

 

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관련논문

 

 

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