"5차방정식과 근의 공식"의 두 판 사이의 차이
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">거듭제곱근 체확장</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">거듭제곱근 체확장</h5> | ||
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* 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 <math>F=R_0</math><br> | * 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 <math>F=R_0</math><br> | ||
* 적당한 원소 <math>a_0 \in R_0</math>와 소수 <math>n_0</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math><br> | * 적당한 원소 <math>a_0 \in R_0</math>와 소수 <math>n_0</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math><br> | ||
* 적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 소수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math><br> | * 적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 소수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math><br> | ||
* 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.<br> | * 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.<br> | ||
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2012년 8월 15일 (수) 13:53 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 표준적인 증명은 거듭제곱근 체확장(radical extension) 과 가해군(solvable group) 항목을 참조
방정식의 근의 공식
- 방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
- 2차 방정식의 근의 공식
\(ax^2+bx+c=0\)
\(x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), \(x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
- 3차, 4차 방정식의 근의 공식
\(x^3 + px + q = 0\)
\(x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
\(x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
\(x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)
거듭제곱근 체확장
- 체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 체론(field theory) 항목을 참조
- 거듭제곱근 체확장(radical extension) 항목에서 자세히 다룸
- 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 \(F=R_0\)
- 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
- 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
- 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.
5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명
5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론
학부대수학의 표준적인 증명
- \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
- 두개의 복소수해와 3세의 실수해를 가짐
- 갈루아군은 \(S_5\)은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다.
일반적인 n차 방정식
일반적인 방정식
\(x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\)
\(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)
\(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)
역사
- 1820년대 아벨에 의해 증명
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation
- 수학사연표
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension
링크
관련논문
- Variations on the theme of solvability by radicals
- A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
- On solvability and unsolvability of equations in explicit form
- A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
- Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree
- Michael I. Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505
관련도서
- Abel's Proof
- Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p (pdf)
- Galois' Theory of Algebraic Equations
- Jean-Pierre Tignol, Chapter 13. Ruffini and Abel on general equations (pdf)
- Elliptic functions and elliptic integrals
- Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation (pdf)