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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br><math>x^3 + px + q = 0</math><br><math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math><br> | * [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br><math>x^3 + px + q = 0</math><br><math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math><br> | ||
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| − | * 이러한 체확장을 유한번 반복하여 | + | * 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.<br> |
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* <math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math>는 유리수체 위에 정의된 기약다항식<br> | * <math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math>는 유리수체 위에 정의된 기약다항식<br> | ||
* 두개의 복소수해와 3세의 실수해를 가짐<br> | * 두개의 복소수해와 3세의 실수해를 가짐<br> | ||
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<math>x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0</math> | <math>x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0</math> | ||
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* 1820년대 아벨에 의해 증명<br> | * 1820년대 아벨에 의해 증명<br> | ||
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation | ||
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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| − | * | + | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= |
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=radical | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=radical | ||
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | * [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | ||
| − | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 | + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] |
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension | * http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension | ||
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* [http://www.springerlink.com/content/0620513v46601g12/ Variations on the theme of solvability by radicals]<br> | * [http://www.springerlink.com/content/0620513v46601g12/ Variations on the theme of solvability by radicals]<br> | ||
| − | ** A. G. Khovanskii, | + | ** A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 259, Number 2 / 2007년 12월 |
* [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]<br> | * [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]<br> | ||
| − | ** A G Khovanskii, | + | ** A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736 |
* [http://www.jstor.org/stable/2974763 Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/2974763 Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree]<br> | ||
| − | ** Michael I. Rosen, | + | ** Michael I. Rosen, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505 |
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| − | + | ==관련도서== | |
* Abel's Proof<br> | * Abel's Proof<br> | ||
| − | ** Peter Pesic, | + | ** Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p ([[2284146/attachments/1125756|pdf]]) |
* [http://www.amazon.com/Galois-Theory-Algebraic-Equations-Jean-Pierre/dp/9810245416/ref=sr_1_1/192-3053250-5244809?ie=UTF8&s=books&qid=1228931227&sr=1-1 Galois' Theory of Algebraic Equations]<br> | * [http://www.amazon.com/Galois-Theory-Algebraic-Equations-Jean-Pierre/dp/9810245416/ref=sr_1_1/192-3053250-5244809?ie=UTF8&s=books&qid=1228931227&sr=1-1 Galois' Theory of Algebraic Equations]<br> | ||
| − | ** Jean-Pierre Tignol, | + | ** Jean-Pierre Tignol, Chapter 13. Ruffini and Abel on general equations ([[2284146/attachments/1015504|pdf]]) |
* [http://www.amazon.com/Functions-Integrals-Translations-Mathematical-Monographs/dp/0821805878 Elliptic functions and elliptic integrals]<br> | * [http://www.amazon.com/Functions-Integrals-Translations-Mathematical-Monographs/dp/0821805878 Elliptic functions and elliptic integrals]<br> | ||
| − | ** Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, | + | ** Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation ([[2284146/attachments/1099008|pdf]]) |
2012년 9월 4일 (화) 01:13 판
개요
- 표준적인 증명은 거듭제곱근 체확장(radical extension) 과 가해군(solvable group) 항목을 참조
방정식의 근의 공식
- 방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
- 2차 방정식의 근의 공식
\(ax^2+bx+c=0\)
\(x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), \(x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
- 3차, 4차 방정식의 근의 공식
\(x^3 + px + q = 0\)
\(x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
\(x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
\(x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)
거듭제곱근 체확장
- 체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 체론(field theory) 항목을 참조
- 거듭제곱근 체확장(radical extension) 항목에서 자세히 다룸
- 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 \(F=R_0\)
- 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
- 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
- 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.
5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명
5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론
대수학의 표준적인 증명
- \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
- 두개의 복소수해와 3세의 실수해를 가짐
- 갈루아군은 \(S_5\)은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다.
일반적인 n차 방정식
일반적인 방정식
\(x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\)
\(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)
\(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)
메모
역사
- 1820년대 아벨에 의해 증명
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation
- 수학사연표
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension
관련논문
- Variations on the theme of solvability by radicals
- A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
- On solvability and unsolvability of equations in explicit form
- A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
- Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree
- Michael I. Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505
관련도서
- Abel's Proof
- Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p (pdf)
- Galois' Theory of Algebraic Equations
- Jean-Pierre Tignol, Chapter 13. Ruffini and Abel on general equations (pdf)
- Elliptic functions and elliptic integrals
- Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation (pdf)