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*  frame <math>\{X_i\}</math>에 대하여, 적당한 1-form <math>\omega_{j}^{i}</math>에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다<br><math>\nabla X_i = \sum_{j=1}^{2} A_{ij}\otimes X_j= A_{i}^{j}\otimes X_j</math><br>
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*  frame <math>\{X_i\}</math>에 대하여, 적당한 1-form <math>\omega_{i}^{j}</math>에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다<br><math>\nabla X_i =\omega_{i}^{j}\otimes X_j</math><br>
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*  여기서 1-form <math>A_{ij}</math>는 벡터장 <math>{\mathbf v}</math>에 대하여 다음을 만족시킴<br><math>\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \sum_{j=1}^{2} A_{ij}({\mathbf v}) X_j</math><br>
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*  여기서 1-form <math>\omega_{i}^{j}</math>는 벡터장 <math>{\mathbf v}</math>에 대하여 다음을 만족시킴<br><math>\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \omega_{i}^{j}\otimes X_j</math><br>
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*  이때의 <math>A=(A_{ij})</math> 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다<br>
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*  이때의 <math>\omega=(\omega_{i}^{j})</math> 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다<br>
  
 
 
 
 
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* [[리만 곡률 텐서]] 의 일반화<br>
 
* [[리만 곡률 텐서]] 의 일반화<br>
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* <math>\,\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega</math> 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다<br>
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* <math>F=dA-A\wedge A</math> 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다<br>
 
  
 
 
 
 
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*  리만다양체에 정의되는 접속<br>
 
*  리만다양체에 정의되는 접속<br>
 
*  frame <math>\mathbf{e}=\{e_i\}</math><br>
 
*  frame <math>\mathbf{e}=\{e_i\}</math><br>
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*  접속형식 <math>A=(A_{ij})</math>을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다<br><math>\nabla_{e_i} e_j =\sum_{k=1}^{n} A_{jk}(e_i) e_k</math><br> 즉 <math> A_{jk}(e_i)={\Gamma^k}_{ij}</math><br>
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*  접속형식을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다<br><math>\nabla_{e_i} e_j =\sum_{k=1}^{n} \omega_{j}^{k}(e_i) e_k</math><br> 즉 <math> \omega_{j}^{k}(e_i)={\Gamma^k}_{ij}</math><br>
 
* [[크리스토펠 기호]]를 통해 표현할수 있다<br><math>\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^ke_k</math><br>
 
* [[크리스토펠 기호]]를 통해 표현할수 있다<br><math>\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^ke_k</math><br>
  

2012년 7월 11일 (수) 09:17 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 방향미분의 일반화
  • 벡터장 \({\mathbf v}\)와 벡터장 \( {\mathbf Y}\)에 대해서 정의되며, 또다른 벡터장 \(\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}\) 을 얻는다

 

 

성질
  • 벡터장 \({\mathbf X},{\mathbf Y}\)와 함수 f에 대하여 다음 성질을 만족시킨다
    \(\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}\)

 

 

접속 1형식
  • frame \(\{X_i\}\)에 대하여, 적당한 1-form \(\omega_{i}^{j}\)에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다
    \(\nabla X_i =\omega_{i}^{j}\otimes X_j\)
  • 여기서 1-form \(\omega_{i}^{j}\)는 벡터장 \({\mathbf v}\)에 대하여 다음을 만족시킴
    \(\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \omega_{i}^{j}\otimes X_j\)
  • 이때의 \(\omega=(\omega_{i}^{j})\) 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다

 

 

곡률 2형식
  • 리만 곡률 텐서 의 일반화
  • \(\,\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega\) 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다

 

 

레비치비타 접속
  • 리만다양체에 정의되는 접속
  • frame \(\mathbf{e}=\{e_i\}\)
  • 접속형식을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다
    \(\nabla_{e_i} e_j =\sum_{k=1}^{n} \omega_{j}^{k}(e_i) e_k\)
    즉 \( \omega_{j}^{k}(e_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
  • 크리스토펠 기호를 통해 표현할수 있다
    \(\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^ke_k\)

 

 

Cartan structural equation

 

 

 

역사

 

 

 

메모
  • http://mathstat.carleton.ca/~ckfong/S43.pdf
  • Moussiaux, A., 와/과Ph. Tombal. 1988. “Geometric calculus: A new computational tool for Riemannian geometry”. International Journal of Theoretical Physics 27 (5): 613-621. doi:10.1007/BF0066884

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문
  • The Geometry of Connections
    • R. S. Millman and Ann K. Stehney, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500

 

 

관련도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
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