리만 곡률 텐서

개요

리만 다양체 위에 정의된 리만 접속 (connection) <math>\nabla</math>을 생각하자
세 개의 벡터장 <math>X,Y,Z</math>가 주어지면, 새로운 벡터장 <math>R(X,Y)Z</math>를 다음과 같이 얻는다

<math>R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z</math>

리만 곡률 텐서

성분

<math>{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = dx^\rho(R(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\partial_{\sigma})</math>
크리스토펠 기호 를 이용한 성분의 계산

<math>{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}+ \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}- \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}</math>

<math>{R^l}_{kij} = \partial_i\Gamma^l_{jk} - \partial_j\Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{is}\Gamma^s_{jk} - \Gamma^l_{js}\Gamma^s_{ik}</math>

<math>R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho \zeta} {R^\zeta}_{\sigma\mu\nu} .</math>

성질

리만 곡률 텐서는 다음의 대칭성을 갖는다

<math>R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}</math>
<math>R_{ijkl}=R_{klij}</math>
<math>R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0</math>, 비앙키 항등식

선형 독립인 항의 개수

리만다양체의 차원이 <math>n</math>이라 하자
리만 곡률 텐서의 대칭성으로 인하여 선형 독립인 리만 곡률 텐서의 성분의 개수는 <math>n^2(n^2-1)/12</math>이 된다
<math>n=2</math>일 때, 모든 성분은 0 또는 <math>\pm R_{1212}</math>
<math>n=3</math>일 때, 모든 성분은 0 또는 <math>\pm R_{1212},\pm R_{1213},\pm R_{1223},\pm R_{1313},\pm R_{1323},\pm R_{2323}</math>
<math>n=4</math>일 때, 모든 성분은 0 또는

<math>

\pm R_{1212},\pm R_{1213},\pm R_{1214},\pm R_{1223},\pm R_{1224},\\ \pm R_{1234},\pm R_{1313},\pm R_{1314},\pm R_{1323},\pm R_{1324},\\ \pm R_{1334},\pm R_{1414},\pm R_{1423},\pm R_{1424},\pm R_{1434},\\ \pm R_{2323},\pm R_{2324},\pm R_{2334},\pm R_{2424},\pm R_{2434},\\ \pm R_{3434} </math>이며, 여기서 <math>R_{1234}-R_{1324}+R_{1423}=0</math>가 성립

곡률 2형식

<math>R(X,Y)\partial_{j}=\Omega_{j}^{s}(X,Y)\partial_s</math>
<math>\,\Omega=d\omega +\frac{1}{2}[\omega,\omega]=d\omega +\omega\wedge \omega</math>
<math>\Omega^i_{j}=d\omega^i_{j} +\sum_k \omega^i_{k}\wedge\omega^k_{j}</math>

곡면의 경우

제1기본형식이 <math>E=e(u,v),F=0,G=g(u,v)</math> 로 주어진 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같다 (이외의 <math> R_{jkl}^i</math>는 0이다):<math> R_{212}^1 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}</math>:<math>R_{112}^2 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}</math>:<math>R_{221}^1 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}</math>:<math>R_{121}^2 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}</math>

역사

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxN2ZmMGViMGQtMmI4Ny00MmI3LWE4ZTYtYmQyNjZiYWVhMTc5&sort=name&layout=list&num=50

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Dunn, An Introduction to the Riemann Curvature Tensor and Differential Geometry
- 슬라이드

메타데이터

위키데이터

ID : Q855112

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'riemann'}, {'LOWER': 'curvature'}, {'LEMMA': 'tensor'}]
[{'LOWER': 'riemann'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'christoffel'}, {'LEMMA': 'tensor'}]

리만 곡률 텐서

목차

개요