"크리스토펠 기호"의 두 판 사이의 차이

2012년 1월 16일 (월) 05:51 판

정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 \({\Gamma^k}_{ij}\), \(i,j,k\in\ I\)를 정의한다
\(\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k\)
접속형식 \(A=(A_{ij})\)을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다
\(\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k\)
즉 \( A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
\(\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}\) 이 성립한다

3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)
\(X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)\)
\(X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)\)
\(X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)\)
\(X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)\)
\(\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}\), \(\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}\) 가 성립한다

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 *  정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 <math>{\Gamma^k}_{ij}</math>, <math>i,j,k\in\ I</math>를 정의한다<br><math>\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k</math><br>
 *  접속형식 <math>A=(A_{ij})</math>을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다<br><math>\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k</math><br> 즉 <math> A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}</math><br>
+* <math>\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}</math> 이 성립한다
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 *  3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)<br><math>X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)</math><br><math>X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)</math><br><math>X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)</math><br><math>X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)</math><br>
-*
+* <math>\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}</math>, <math>\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}</math>  가 성립한다
 *  제1기본형식을 이용한 표현<br><math>\Gamma^1_{11}=\frac{GE_u-2FF_u+FE_v}{2(EG-F^2)}</math><br><math>\Gamma^1_{12}=\frac{GE_v-FG_u}{2(EG-F^2)}</math><br><math>\Gamma^1_{22}=\frac{2GF_v-GG_u-FG_v}{2(EG-F^2)}</math><br><math>\Gamma^2_{11}=\frac{2EF_u-EE_v-FE_u}{2(EG-F^2)}</math><br><math>\Gamma^2_{12}=\frac{EG_u-FE_v}{2(EG-F^2)}</math><br><math>\Gamma^2_{22}=\frac{EG_v-2FF_v+FG_u}{2(EG-F^2)}</math><br>