"타원 모듈라 λ-함수"의 두 판 사이의 차이

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<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math>
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<math>\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}</math> 로 두면, <math>\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}</math>
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여기서 
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<math>e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)</math>
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<math>e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>
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<math>e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>
  
 
 
 
 
  
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<math>\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_1}{e_3-e_2}</math>
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2009년 12월 17일 (목) 05:52 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • \(\lambda(\tau)=k^2(\tau)\) 는 modulus라고 불렸으며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
  • 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량에 그 자리를 내줌
  • 모듈라 군(modular group) \(\Gamma(2)\)에 대한 모듈라 함수가 됨
    \(\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}\)
  • 기본적인 내용은 [AHL1979] 7.3.4를 참고

 

 

세타함수와의 관계
  • 자코비 세타함수
    [[자코비 세타함수|]]\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)
    \(\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\)

 

 

바이어슈트라스 타원함수와의 관계

\(\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\)

\(\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}\) 로 두면, \(\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}\)

여기서 

\(e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)\)

\(e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\)

\(e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\)

 

 

 

 

 

j-invariant와의 관계

\(J(\tau)=\frac{4}{27}\frac{(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2(1-\lambda)^2}\)

 

 

special values

\(\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}\)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

메모

 

 

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