"포아송의 덧셈 공식"의 두 판 사이의 차이

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* <math>a\in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}</math>와 곱셈에 대한 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함
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* <math>G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}</math>와 준동형사상 <math>f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>의 경우
  
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<math>\tau_a(\chi) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) \zeta^{a t}</math>
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<math>\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}</math>
  
 
여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/N}</math>
 
여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/N}</math>
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* [[#]]<br>
  
 
 
 
 
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">선형 코드의 경우</h5>
 
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">선형 코드의 경우</h5>
  
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* <math>G=\mathbb F_2^n</math>, <math>H = C</math> 선형코드의 경우<br>
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2009년 9월 10일 (목) 09:32 판

간단한 소개
  • 아벨군 \(G\)와 그 부분군 \(H\)에 대하여 다음을 정의
    • \(\^G=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}\)
    • \(H^{\#}=\{\chi\in \^G | \chi (h)=1\}\)
  • 푸리에 변환
    \(\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \)

 

 

(정리) 포아송 덧셈 공식

아벨군 \(G\)와 부분군 \(H\), \(g\in G\)에 대하여 다음이 성립한다.

\(\frac{1}{H}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{G}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)\)

특별히 \(g=1\)인 경우 다음을 얻는다.

\(\frac{1}{H}\sum_{h\in H}f(h)=\frac{1}{G}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\)

 

 

 

\(G=\mathbb R\)인 경우
  • 푸리에 변환
    \(\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\)
  •  

 

(정리) 포아송

\(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\)

 

(증명)

\(F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)\)

\(F(x+1)=F(x)\) 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다.

\(F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}\)

\(a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt\)

\(F(0):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n\)

한편 \(a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)\)

따라서 \(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\) (증명끝)

 

 

유한아벨군 버전

 

  • \(G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)의 경우

\(\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}\)

여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)

 

 

선형 코드의 경우
  • \(G=\mathbb F_2^n\), \(H = C\) 선형코드의 경우
  •  

 

 

상위 주제

 

 

 

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메모
  • 코드
    • 이차형식에서 격자에 대응
  • 코드의 weight enumerator
  • 격자의 쎄타함수에 대응
     
  • 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
  • MacWilliams Identity
  • 섀넌 샘플링 정리

 

 

 

역사


관련된 고교수학 또는 대학수학

 

 

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