"상수계수 선형점화식"의 두 판 사이의 차이

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**** <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 라 하면, <math>a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}</math> 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
 
**** <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 라 하면, <math>a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}</math> 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
 
**** 중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우에는 <math>a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}</math> 꼴이 된다.
 
**** 중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우에는 <math>a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}</math> 꼴이 된다.
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*** <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근 <math>\alpha, \beta</math> 에 대하여, <math>p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r</math> 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로<br><math>a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0</math> 라고 쓸 수 있다.<br> 이제 <math>a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 으로 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\beta a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기.<br><math>a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)</math> 로도 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기.<br> 연립해서 <math>a_{n+1}</math> 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다.<br> 이 점화식을 <math>p+q+r=0</math> 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.<br>
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*** <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근 <math>\alpha, \beta</math> 에 대하여, <math>p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r</math> 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로:<math>a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0</math> 라고 쓸 수 있다.<br> 이제 <math>a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 으로 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\beta a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기.:<math>a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)</math> 로도 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기.<br> 연립해서 <math>a_{n+1}</math> 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다.<br> 이 점화식을 <math>p+q+r=0</math> 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.<br>
 
*** ex) 피보나치 수열 <math>a_{n+2} =  a_{n+1} + a_n</math> 의 일반항을 구하시오. (<math>a_1 = a_ 2 = 1</math>)
 
*** ex) 피보나치 수열 <math>a_{n+2} =  a_{n+1} + a_n</math> 의 일반항을 구하시오. (<math>a_1 = a_ 2 = 1</math>)
 
* <math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = b_n</math> 꼴의 점화식<br>
 
* <math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = b_n</math> 꼴의 점화식<br>

2013년 1월 12일 (토) 10:52 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 선형점화식은 선형 미분방정식의 이론과 유사한 점이 많다.
  • 선형대수학이 배경이 되는 이론이다

 

 

이계 선형점화식

  • \(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식
    • \(p+q+r =0\) 일 때
      • 잘 정리하면 \(a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n)\) 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 \(b_n = a_{n+1} - a_{n}\) 에 대한 등차수열이라고 생각하고, \(b_n\) 을 구한다.
      • 계차수열을 알 때 일반항을 구하는 건 할 수 있지?
    • \(p+q+r \ne 0 \) 일 때 : (교육 과정 외, 이 점화식만은 외우는 것을 권장함. 유도 과정이 너무 길다.)
      • 결론부터 말하자면,
        • \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근을 \(\alpha, \beta\) 라 하면, \(a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}\) 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
        • 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우에는 \(a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}\) 꼴이 된다.
      • \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근 \(\alpha, \beta\) 에 대하여, \(p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r\) 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로\[a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0\] 라고 쓸 수 있다.
        이제 \(a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)\) 으로 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\beta a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기.\[a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)\] 로도 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\alpha a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기.
        연립해서 \(a_{n+1}\) 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다.
        이 점화식을 \(p+q+r=0\) 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.
      • ex) 피보나치 수열 \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\) 의 일반항을 구하시오. (\(a_1 = a_ 2 = 1\))
  • \(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = b_n\) 꼴의 점화식
    • 양변에 적당히 \(n\) 에 대한 식을 더해서 공비 \(r\) 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

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수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 


 

 


 

 


 

 

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