포아송의 덧셈 공식

개요

• 아벨군 \(G\)와 그 부분군 \(H\)에 대하여 다음을 정의
  • 쌍대군 \(\hat{G}=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}\)
  • \(H^{\#}=\{\chi\in \hat{G} | \chi (h)=1\}\)
• 푸리에 변환 \(\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \)

(정리) 포아송 덧셈 공식

아벨군 \(G\)와 부분군 \(H\), \(g\in G\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)\]

(따름정리)

특별히 \(g=1\)인 경우 다음을 얻는다. \[\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(h)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\]

\(G=\mathbb R\)인 경우

• \(G=\mathbb R\), \(H=\mathbb Z\)
• \(\hat{G}=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}\)
• \(\chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}\)
• \(H^{\#}=\{\chi_n : n \in \mathbb{Z}\}\)
• 푸리에 변환

\[\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\]

(정리) 포아송 \[\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\]

(증명) \(F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)\)라 두면, \(F(x+1)=F(x)\) 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다. \[F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}\] 이 때, \(a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt\) 따라서 \[F(0)=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n\]

한편 \[a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)\] 로부터 다음을 얻는다 \[\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\] (증명끝)

• 응용
  • 자코비 세타함수
  • 격자의 세타함수

선형 코드의 경우

• \(G=\mathbb F_2^n\), \(H = C\) 선형코드의 경우
• \(\hat{G}=\{\chi_a:a\in G\}\),여기서 \(\chi_a(g)=(-1)^{a\cdot g}\)
• \(C^{\#}=H^{\#}=\{\chi_a : a\cdot u=0 \, \forall u \in G\}\)

• 선형코드에 대해서는 코딩이론 항목을 참조

메모

• 코딩이론
• 코드
  • 이차형식에서 격자에 대응
• 코드의 weight enumerator
• 격자의 쎄타함수에 대응
• 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
• MacWilliams Identity

• 섀넌 샘플링 정리

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 푸리에 변환
• 자코비 세타함수
• 격자의 세타함수

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_summation_formula