"구면(sphere)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) (→측지선) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 3번째 줄: | 3번째 줄: | ||
* [[구면기하학]]의 모델 | * [[구면기하학]]의 모델 | ||
| − | |||
| − | |||
==매개화== | ==매개화== | ||
| 14번째 줄: | 12번째 줄: | ||
:<math>X_u=R(- \sin u \sin v , \cos u \sin v ,0)</math>:<math>X_v=R( \cos u \cos v , \sin u \cos v ,-\sin v)</math>:<math>N=(-\cos u \sin v, -\sin u \sin v, -\cos v)</math>:<math>X_{uu}=R(-\cos u \sin v , -\sin u \sin v ,0)</math>:<math>X_{uv}=R(-\cos v \sin u , \cos u \cos v , 0)</math>:<math>X_{vv}=R(- \cos u \sin v , - \sin u \sin v , - \cos v )</math><br> | :<math>X_u=R(- \sin u \sin v , \cos u \sin v ,0)</math>:<math>X_v=R( \cos u \cos v , \sin u \cos v ,-\sin v)</math>:<math>N=(-\cos u \sin v, -\sin u \sin v, -\cos v)</math>:<math>X_{uu}=R(-\cos u \sin v , -\sin u \sin v ,0)</math>:<math>X_{uv}=R(-\cos v \sin u , \cos u \cos v , 0)</math>:<math>X_{vv}=R(- \cos u \sin v , - \sin u \sin v , - \cos v )</math><br> | ||
| − | |||
| − | |||
==제1기본형식 (메트릭 텐서)== | ==제1기본형식 (메트릭 텐서)== | ||
| 24번째 줄: | 20번째 줄: | ||
* <math>G=R^2</math> | * <math>G=R^2</math> | ||
| − | |||
| − | |||
==크리스토펠 기호== | ==크리스토펠 기호== | ||
| 32번째 줄: | 26번째 줄: | ||
* [[크리스토펠 기호]] 항목 참조:<math>\Gamma^1_{11}=0</math>:<math>\Gamma^1_{12}=\cot v</math>:<math>\Gamma^1_{21}=\cot v</math>:<math>\Gamma^1_{22}=0</math>:<math>\Gamma^2_{11}=-\sin v \cos v</math>:<math>\Gamma^2_{12}=0</math>:<math>\Gamma^2_{21}=0</math>:<math>\Gamma^2_{22}=0</math><br> | * [[크리스토펠 기호]] 항목 참조:<math>\Gamma^1_{11}=0</math>:<math>\Gamma^1_{12}=\cot v</math>:<math>\Gamma^1_{21}=\cot v</math>:<math>\Gamma^1_{22}=0</math>:<math>\Gamma^2_{11}=-\sin v \cos v</math>:<math>\Gamma^2_{12}=0</math>:<math>\Gamma^2_{21}=0</math>:<math>\Gamma^2_{22}=0</math><br> | ||
| − | + | ||
| 110번째 줄: | 104번째 줄: | ||
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWZjZjFkNWEtNTVlNC00OTVjLWJhMDMtODc1NjgyMGQ1OTA5&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWZjZjFkNWEtNTVlNC00OTVjLWJhMDMtODc1NjgyMGQ1OTA5&sort=name&layout=list&num=50 | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=sphere | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=sphere | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| 127번째 줄: | 113번째 줄: | ||
* http://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html | * http://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
[[분류:미분기하학]] | [[분류:미분기하학]] | ||
[[분류:곡면]] | [[분류:곡면]] | ||
2013년 6월 7일 (금) 14:52 판
개요
- 구면기하학의 모델
매개화
- 3차원상의 반지름이 R인 구면 \( x^2+y^2+z^2 = R^2\)
- 매개화\[X(u,v)=R(\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v)\]\[0<u<2\pi,0<v<\pi\]
- 미분
\[X_u=R(- \sin u \sin v , \cos u \sin v ,0)\]\[X_v=R( \cos u \cos v , \sin u \cos v ,-\sin v)\]\[N=(-\cos u \sin v, -\sin u \sin v, -\cos v)\]\[X_{uu}=R(-\cos u \sin v , -\sin u \sin v ,0)\]\[X_{uv}=R(-\cos v \sin u , \cos u \cos v , 0)\]\[X_{vv}=R(- \cos u \sin v , - \sin u \sin v , - \cos v )\]
제1기본형식 (메트릭 텐서)
- \(E=R^2\sin^2 v\)
- \(F=0\)
- \(G=R^2\)
크리스토펠 기호
- 크리스토펠 기호 항목 참조\[\Gamma^1_{11}=0\]\[\Gamma^1_{12}=\cot v\]\[\Gamma^1_{21}=\cot v\]\[\Gamma^1_{22}=0\]\[\Gamma^2_{11}=-\sin v \cos v\]\[\Gamma^2_{12}=0\]\[\Gamma^2_{21}=0\]\[\Gamma^2_{22}=0\]
리만 곡률 텐서
- 리만 곡률 텐서\[\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & 0 \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & 1 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & -1 \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & -\sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \sin ^2(v) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & 0 \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\]
- covariant tensor\[\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{1111} & 0 \\ R_{1112} & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{1121} & 0 \\ R_{1122} & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{1211} & 0 \\ R_{1212} & R^2 \sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{1221} & -R^2 \sin ^2(v) \\ R_{1222} & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{2111} & 0 \\ R_{2112} & -R^2 \sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{2121} & R^2 \sin ^2(v) \\ R_{2122} & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{2211} & 0 \\ R_{2212} & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{2221} & 0 \\ R_{2222} & 0 \end{array} \end{array}\]
측지선
- 측지선 이 만족시키는 미분방정식
\[\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\]
- 풀어쓰면,
\[\frac{d^2 u}{dt^2} + \Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{du }{dt}\frac{dv }{dt} = 0\] \[\frac{d^2 v}{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{du }{dt}\frac{du }{dt} = 0\]
가우스곡률
- 가우스곡률 항목 참조\[K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\]
- 반지름 R인 구면의 가우스곡률\[K=\frac{1}{R^2}\]
라플라시안
- 위의 좌표계에서 \(u=\phi,v=\theta\) 로 생각하자.
- 라플라시안\[\Delta f = {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2})\]
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWZjZjFkNWEtNTVlNC00OTVjLWJhMDMtODc1NjgyMGQ1OTA5&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=sphere