"가우스 합"의 두 판 사이의 차이
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* 이 두 정의가 같음을 보이자 | * 이 두 정의가 같음을 보이자 | ||
:<math>\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}</math> | :<math>\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}</math> | ||
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$A,B$를 다음과 같이 정의하자 | $A,B$를 다음과 같이 정의하자 | ||
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다음이 성립한다 | 다음이 성립한다 | ||
:<math>A+B=-1 \label{sum}</math> | :<math>A+B=-1 \label{sum}</math> | ||
:<math>A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a \label{diff}</math> | :<math>A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a \label{diff}</math> | ||
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\ref{sum}과 \ref{diff}의 양변을 더하여 다음을 얻는다 | \ref{sum}과 \ref{diff}의 양변을 더하여 다음을 얻는다 | ||
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:<math>2A+1=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}</math> 이므로, | :<math>2A+1=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}</math> 이므로, | ||
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* <math>pq</math>가 짝수인 자연수p,q에 대하여 다음을 정의:<math>S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}</math> | * <math>pq</math>가 짝수인 자연수p,q에 대하여 다음을 정의:<math>S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}</math> | ||
* <math>p=2</math>로 두면 위에서 정의한 가우스합을 다시 얻게 된다:<math>S(2,q)=G(q)</math> | * <math>p=2</math>로 두면 위에서 정의한 가우스합을 다시 얻게 된다:<math>S(2,q)=G(q)</math> | ||
| − | * | + | * 성질:<math>S(ap,aq)=S(ap,aq)</math>:<math>S(a^2p,q)=S(p,q)</math>:<math>S(ap,q)=\left(\frac{a}{q}\right) S(p,q)</math> |
* [[자코비 세타함수]]의 cusp에서의 변화를 기술할 때 사용될 수 있음. | * [[자코비 세타함수]]의 cusp에서의 변화를 기술할 때 사용될 수 있음. | ||
| − | * | + | * 가우스합의 상호법칙 자연수p,q에 대하여 <math>pq</math>가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다.:<math>\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)</math> |
| + | * 증명은 [[가우스 합의 상호법칙(Landsberg-Schaar relation)]] 항목을 참조 | ||
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==디리클레 캐릭터와 가우스합== | ==디리클레 캐릭터와 가우스합== | ||
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* 더 일반적인 가우스합을 정의할 수 있음 | * 더 일반적인 가우스합을 정의할 수 있음 | ||
| − | * 유한아벨군 위에 정의된 | + | * [[유한아벨군과 이산푸리에변환|유한아벨군 위에 정의된 푸리에 변환]] 으로 이해할 수 있음 |
* <math>a\in (\mathbb Z/f \mathbb Z)^{*}</math>와 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함 | * <math>a\in (\mathbb Z/f \mathbb Z)^{*}</math>와 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함 | ||
:<math>g_a(\chi) := \sum_{(t,f)=1} \chi(t) e^{2 \pi i a t/f}=\sum_{(t,f)=1} \chi(t) \zeta^{a t}</math> | :<math>g_a(\chi) := \sum_{(t,f)=1} \chi(t) e^{2 \pi i a t/f}=\sum_{(t,f)=1} \chi(t) \zeta^{a t}</math> | ||
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여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/f}</math> | 여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/f}</math> | ||
| + | * 소수 $p$에 대하여, <math>a=1</math>, <math>\chi(t)=\left(\frac{t}{p}\right)</math>로 두면, 맨 처음에 정의한 가우스합 $G(p)$을 다시 얻게 됨. $G(p)=g_1(\chi)$ | ||
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:<math>g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)</math> | :<math>g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)</math> | ||
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primitive인 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여, 가우스합은 다음을 만족시킴 | primitive인 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여, 가우스합은 다음을 만족시킴 | ||
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| − | + | 실수값을 갖는 primitive인 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대해서 다음이 성립한다. | |
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<math>\chi(-1)=1</math>일때, <math>\tau(\chi)=\sqrt{f}</math> | <math>\chi(-1)=1</math>일때, <math>\tau(\chi)=\sqrt{f}</math> | ||
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<math>\chi(-1)=1</math>, <math>\tau(\chi)=2\sqrt{q}</math> | <math>\chi(-1)=1</math>, <math>\tau(\chi)=2\sqrt{q}</math> | ||
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==정17각형의 작도 문제의 해결 과정에서 나타나는 가우스합== | ==정17각형의 작도 문제의 해결 과정에서 나타나는 가우스합== | ||
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
| − | + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjE2MTliMzMtYzk5Ni00M2YyLTkwYzctMjVkYjJiNzkwNTNk/edit | |
| − | * https://docs.google.com/ | ||
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2014년 1월 19일 (일) 08:57 판
개요
- 이차잉여의 상호법칙 을 증명하기 위해 가우스가 도입
- 유한군 위에 정의된 푸리에 변환의 관점에서 이해할 수 있음
- 이차잉여에 등장하는 자코비 부호의 푸리에 변환
- 자코비 세타함수의 행동을 이해하는데 중요하다
초등정수론의 가우스합
정의
- \(p\) 는 홀수인 소수
- 가우스합을 다음과 같이 정의
\[G(p) := \sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right)e^{2 \pi i a/p}=\sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a\]
또다른 정의
- 위의 정의 대신 다음 정의를 사용하기도 함
\[G'(p):=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\]
- 이 두 정의가 같음을 보이자
\[\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\]
- 증명
$A,B$를 다음과 같이 정의하자 \[A=\sum_{a\in QR} \zeta^a=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}, \label{AQR}\] \[B=\sum_{a\in QNR} \zeta^a\] 다음이 성립한다 \[A+B=-1 \label{sum}\] \[A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a \label{diff}\] \ref{sum}과 \ref{diff}의 양변을 더하여 다음을 얻는다 \[2A+1=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a\] 한편, \ref{AQR}로부터, \[2A+1=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\] 이므로, \[\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\] 를 얻는다.■
- 정리
홀수인 소수 \(p\)에 대하여 가우스합은 다음과 같이 주어진다.
\(p \equiv 1 \pmod 4\) 일 때, \(g_1(\chi)=\sqrt{p}\)
\(p \equiv 3 \pmod 4\) 일 때, \(g_1(\chi)=i\sqrt{p}\)
일반화
- 소수가 아닌 모든 자연수 \(M\)에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있음
\[G(M) := \sum_{r=0}^{M-1} e^{2\pi i r^2/M}\] \(M \equiv 1 \pmod 4\) 일 때, \(G(M)=\sqrt{M}\)
\(M \equiv 2 \pmod 4\) 일 때, \(G(M)=0\)
\(M \equiv 3 \pmod 4\) 일 때, \(G(M)=i\sqrt{M}\)
\(M \equiv 0 \pmod 4\) 일 때, \(G(M)=(1+i)\sqrt{M}\)
가우스합 S(p,q)와 상호법칙
- \(pq\)가 짝수인 자연수p,q에 대하여 다음을 정의\[S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\]
- \(p=2\)로 두면 위에서 정의한 가우스합을 다시 얻게 된다\[S(2,q)=G(q)\]
- 성질\[S(ap,aq)=S(ap,aq)\]\[S(a^2p,q)=S(p,q)\]\[S(ap,q)=\left(\frac{a}{q}\right) S(p,q)\]
- 자코비 세타함수의 cusp에서의 변화를 기술할 때 사용될 수 있음.
- 가우스합의 상호법칙 자연수p,q에 대하여 \(pq\)가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다.\[\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)\]
- 증명은 가우스 합의 상호법칙(Landsberg-Schaar relation) 항목을 참조
디리클레 캐릭터와 가우스합
- 더 일반적인 가우스합을 정의할 수 있음
- 유한아벨군 위에 정의된 푸리에 변환 으로 이해할 수 있음
- \(a\in (\mathbb Z/f \mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함
\[g_a(\chi) := \sum_{(t,f)=1} \chi(t) e^{2 \pi i a t/f}=\sum_{(t,f)=1} \chi(t) \zeta^{a t}\] 여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/f}\)
- 소수 $p$에 대하여, \(a=1\), \(\chi(t)=\left(\frac{t}{p}\right)\)로 두면, 맨 처음에 정의한 가우스합 $G(p)$을 다시 얻게 됨. $G(p)=g_1(\chi)$
- 정리
\[g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)\] \[\chi(n)=\frac{1}{f}\sum_{(a,f)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/f}\]
- 정리
primitive인 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 가우스합은 다음을 만족시킴
\(\tau(\chi)=g_1(\chi)\)라 두면, \(|\tau(\chi)|=\sqrt{f}\)
- 정리
실수값을 갖는 primitive인 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대해서 다음이 성립한다.
\(\chi(-1)=1\)일때, \(\tau(\chi)=\sqrt{f}\)
\(\chi(-1)=-1\)일 때, \(\tau(\chi)=i\sqrt{f}\)
이차잉여 character의 경우
\(q \geq 2\) 는 소수라 가정하자.
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 3\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=-q\), \((\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}\)
\(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)
\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\) , \(q \geq 5\), \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=q\), \((\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}\)
\(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)
\(\chi(-1)=1\), \(\tau(\chi)=\sqrt{q}\)
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\) , \(q \geq 1\) , \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=-4q\), \((\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}\)
\(n\in \mathbb{Z}\), \((n,4q)=1\) 에 대해서는
\(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)\)
\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\) , \(q \geq 3\), \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=4q\), \((\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}\)
일반적인\(n\in \mathbb{Z}\), \((n,4q)=1\) 에 대해서는
\(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)\)
\(\chi(-1)=1\), \(\tau(\chi)=2\sqrt{q}\)
정17각형의 작도 문제의 해결 과정에서 나타나는 가우스합
- \(\zeta=e^{2\pi i \over 17}\) 로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
- \((3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}\)
- 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
- \(A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}\)
- \(A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}\)
- \(A_0+A_1= -1\) 임은 쉽게 알 수 있음
- \(A_0-A_1\) 는 가우스합이므로 \(A_0-A_1=\sqrt{17}\)
- \(A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\) , \(A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\)
메모
\(\sqrt{y}\theta(\frac{p}{q}+iy)\sim \frac{1}{q}S(p,q)\)
관련된 항목들
- 가우스와 정17각형의 작도
- 이차잉여의 상호법칙
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
- 푸리에 변환
- 유한군의 표현론
- 순환군의 표현론p진해석학
- p진해석학(p-adic analysis)
- p-adic 감마함수
- 자코비 세타함수
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련도서
- A Classical Introduction to Modern Number Theory(Graduate Texts in Mathematics) (v. 84)
- Kenneth Ireland, Michael Rosen
관련논문과 에세이
- The Gross Koblitz formula revisited
- A. Robert, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 105 (2001) 157 170
- Gaussian sums, Dedekind sums and the Jacobi triple product identity
- Robert SCZECH, Kyushu Journal of Mathematics, Vol. 49 (1995) , No. 2 233-241
- The determination of Gauss sums
- Bruce C. Berndt and Ronald J. Evans, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 5, Number 2 (1981), 107-129
- Gauss Sums and the p-adic Γ-function
- Benedict H. Gross and Neal Koblitz, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 109, No. 3 (May, 1979), pp. 569-581