Talk on Siegel theta series and modular forms

overview

• Siegel theta series
• Siegel modular forms
• Siegel-Weil formula
• 틀:수학노트
• 틀:수학노트

basic mathematics

• 두 $n\times n$행렬 $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$에 대하여, $AB$의 대각합은 다음과 같이 주어진다

$$ \operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ji} $$

• $n=2$인 경우 $\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}$
• $n=3$인 경우 $\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{3,1} b_{1,3}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{3,2} b_{2,3}+a_{1,3} b_{3,1}+a_{2,3} b_{3,2}+a_{3,3} b_{3,3}$

지겔 상반 공간

• 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g$

$$ \mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} $$

• 사교군 $\Gamma_g:={\rm Sp}(2g,\Z)$
• $\mathcal{A}_g=\mathcal{H}_g/\Gamma_g$ : moduli space of principally polarized abelian varieties

지겔 모듈라 형식

정의

weight이 k이고 genus(또는 degree)가 $g$인 지겔 모듈라 형식은 다음 조건을 만족하는 해석함수 $f:\mathcal{H}_g\to \mathbb{C}$로 정의된다 $$ f \left( (A\tau +B)(C\tau + D)^{-1}\right) = \det(C\tau +D)^{k} f(\tau),\, \forall \begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in {\rm Sp}(2g,\Z) $$

푸리에 전개

• 지겔 모듈라 형식 $f\in M_k(\Gamma_g)$는 다음과 같은 형태의 푸리에 전개를 가진다

$$f(\tau)=\sum_{T}a(T)\exp\left(2\pi i \operatorname{Tr}(T\tau)\right)$$ 여기서 $T\in \operatorname{Mat}_2(\frac{1}{2}\mathbb{Z})$는 대각성분이 정수인 대칭행렬.

Kocher 원리

지겔 모듈라 형식 $f\in M_k(\Gamma_g)$의 푸리에 전개에서, $T$가 positive semi-definite 행렬이 아니면, $a(T)=0$이다

지겔 모듈라 형식의 예

• 지겔-아이젠슈타인 급수
• 격자의 지겔 세타 급수

개요

• 자연수 $g$와 격자 $\Lambda$에 대하여 정의되는 함수 $\Theta_\Lambda^{(g)}(\tau)$
• 정의역은 지겔 상반 공간

$$ \mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} $$

• 격자의 세타함수는 $g=1$인 경우에 해당

기호

• $\Lambda\subset \mathbb{R}^n$ $n$차원 격자
• $M$는 각 행이 $\Lambda$의 기저가 되는 $n\times n$ 행렬
• $A:=M^tM$는 $\Lambda$의 그램 행렬

g가 1인 경우

• 격자 $\Lambda$에 대하여, $N_m$를 $\{x\in\Lambda|x\cdot x=m\}$의 원소의 개수로 정의
• $N_m$는 $\zeta A \zeta^{t} =m$를 만족하는 정수벡터 $\zeta$의 개수로 이해할 수 있다
• 다시 말해, $\Lambda$에 의해 얻어지는 이차형식이 정수 $m$을 표현하는 방법의 수이다
• $\Lambda$의 세타함수는 복소상반평면 $\mathcal{H}_1$을 정의역으로 하는 다음과 같은 함수가 된다

$$ \Theta_\Lambda(\tau)=\sum_{x\in\Lambda}q^{x\cdot x}=\sum_{m=0}^\infty N_mq^m, $$ 여기서 $q=e^{\pi i \tau}$이고, $\tau\in\mathcal{H}_1$.

예

• $\mathbb{Z}$의 세타함수는 자코비 세타함수로 다음과 같다

$$\Theta_{\mathbb{Z}}(\tau)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}q^{m^2}=1+2q+2q^4+2q^9+\cdots\equiv\theta[{}_0^0](\tau)$$

일반적인 자연수 g에 대한 세타함수의 일반화

• 자연수 $g$, (리만곡면의 genus에서 g가 온 것이다)
• $\underline{\zeta}$를 정수계수를 갖는 $g\times n$ 행렬
• $\underline{x}$는 각 행이 격자 $\Lambda$의 원소가 되는 $g\times n$ 행렬이라 하자
• 주어진 $\underline{x}$는 적당한 $\underline{\zeta}$에 대하여 $\underline{x}=\underline{\zeta}M$꼴로 쓰여진다
• 이제 각각의 정수계수 $g\times g$ 행렬 $\underline{m}$에 대하여, $N_{\underline{m}}\in\mathbb{Z}$를 다음 방정식의 해의 개수로 정의하자

$$ \underline{\zeta} A \underline{\zeta}^t =\underline{m}, $$

• $\underline{m}$의 성분 $m_{i,j}$는 $\underline{x}$의 두 행 $x_i,x_j\in\Lambda$ 사이의 내적이다
• 따라서 $N_{\underline{m}}$는 $x_i\cdot x_j=m_{ij}$를 만족하는 $\underline{x}=(x_i)$의 개수이다
  • $N_{\underline{m}}$은 $\underline{m}$에 대응되는 이차형식을 $\Lambda$에 대응되는 이차형식으로 표현하는 방법의 개수로 이해할 수 있다
• $\Lambda$에 대한 genus $g$ 세타함수는 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g$에 정의되는 다음과 같은 해석함수이다

$$ \begin{align} \Theta_\Lambda^{(g)}(\tau)&=\sum_{x\in\Lambda^{(g)}}e^{\pi i\operatorname{Tr}(x\cdot x)}\\ &=\sum_{\underline{\zeta}\in\mathbb{Z}^{g,n}}e^{\pi i\operatorname{Tr}(\underline{\zeta} A \underline{\zeta}^{t}\tau)}\\ &=\sum_{\underline{m}} N_{\underline{m}}\prod_{i\leq j}e^{\pi i m_{ij}\tau_{ij}}, \end{align} $$

• 마지막 등식에서는 행렬의 대각합 (trace)의 성질이 사용되었다
• 짝수 자기쌍대 격자의 세타함수는 $\Gamma_g$에 대하여 weight $\frac{n}{2}$인 지겔 모듈라 형식
• 홀수 자기쌍대 격자는 $\Gamma_g(1,2)$에 대하여 weight $\frac{n}{2}$인 지겔 모듈라 형식
• 여기서

\begin{align*} & \Gamma_g:={\rm Sp}(2g,\mathbb{Z}), \qquad \Gamma_g(2):=\{ M\in \Gamma_g \mid M=\mathbb{I}\ {\rm mod} 2 \} \\ & \Gamma_g (1,2) :=\{ M=\left(^A_C{}^B_D \right) \in \Gamma_g (2) \mid \ A B^{t} ={\rm diag} C\ D^{t} =0 \ {\rm mod} 2 \}. \end{align*}

related items

• Siegel-Weil formula