타원적분

개요

• 먼저 타원적분론 입문 참조
• \(R(x,y)\)는  \(x,y\)의 유리함수이고, \(y^2\)은 \(x\)의 3차 또는 4차식\[\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx\] 또는\[\int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx\]

 

 

타원 둘레의 길이

• 역사적으로 타원 둘레의 길이를 구하는 적분에서 그 이름이 기원함.
• 타원  \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 \(4aE(k)\) 로 주어짐.\[k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\]\[E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]

 

정의

• 일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부름

\[\int R(x,y)\,dx\] 여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수, \(y^2\)= 중근을 갖지 않는 \(x\)의 3차식 또는 4차식.

• 예를 들자면,

\[\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\] \[\int \frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]

 

일종타원적분과 이종타원적분

• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]\[K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]
• 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)\[E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]\[E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\]
• \(\,_2F_1(a,b;c;z)\)는 초기하급수(Hypergeometric series)

 

 

르장드르의 항등식

• 일종타원적분과 이종타원적분 사이에는 다음과 같은 관계가 성립

\[E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\]

또는 \(\theta+\phi=\frac{\pi}{2}\) 에 대하여 \[E(\sin\theta)K(\sin\phi)+E(\sin\phi)K(\sin\theta)-K(\sin\theta)K(\sin\phi)=\frac{\pi}{2}\]

• 특별히 다음과 같은 관계가 성립함

\[2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}\]

산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산에 응용

 

 

덧셈공식

• 파그나노의 공식 (렘니스케이트 곡선과 Lemniscatomy 항목 참조)

\[\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx = \int_0^{A(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx\] 여기서 \(A(x,y)=\frac{x\sqrt{1-y^4}+y\sqrt{1-x^4}}{1+x^2y^2}\)

• 오일러의 일반화

\(p(x)=1+mx^2+nx^4\)일 때, \[\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx = \int_0^{B(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx\] 여기서  \[B(x,y)=\frac{x\sqrt{p(y)}+y\sqrt{p(x)}}{1-nx^2y^2}\]

 

 

메모

• 타원적분의 응용으로 단진자의 주기와 타원적분 항목 참조

 

관련된 항목들

• 타원곡선
• 타원함수
  • 바이어슈트라스 타원함수 ℘
• 자코비 세타함수
• 초기하급수(Hypergeometric series)
• 대수적 함수와 아벨적분
• 오일러치환

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/타원적분
• http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
  • Chapter 19 Elliptic Integrals

 

 

관련논문

• In Search of the "Birthday" of Elliptic Functions - Bit by bit, the discoverers decided what it was they had discovered.
  • Rice, Adrian, 48-57, The Mathematical Intelligencer, Volume 30, Number 2, 2008-3
• Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:10.1090/S0273-0979-07-01178-0.
• The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals
  • AYOUB R
• A property of Euler's elastic curve
• The story of Landen, the hyperbola and the ellipse
  • Elemente der Mathematik, Volume 57, Number 1 / 2002년 2월
• Three Fermat Trails to Elliptic Curves
  • Ezra Brown, The College Mathematics Journal, Vol. 31, No. 3 (May, 2000), pp. 162-172
• Elliptic Curves
  • John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 9 (Nov., 1995), pp. 831-837
• Abel's Theorem on the Lemniscate
  • Michael Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 6 (Jun. - Jul., 1981), pp. 387-395

 

 

관련도서

• Elliptic functions and elliptic integrals
  • Viktor Prasolov, Yuri Solovyev
• Pi and the AGM
  • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein

 

블로그

• 삼각치환에서 타원적분으로 피타고라스의 창, 2009-8-19