오일러 치환

수학노트

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개요

<math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수치환 <math>x=x(t)</math>
유리함수의 부정적분은 인수분해를 통하여 가능하므로, 이러한 형태의 적분 문제를 완전히 이해하는 셈이 된다
이차곡선<math>y^2=ax^2+bx+c</math>를 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math>로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
삼각치환이 잘 작동하는 이유를 설명해준다
타원적분론을 공부하기 전에 이해하면 도움이 된다

오일러 치환

제1오일러 치환

<math>a>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x</math> 로 치환
예:<math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>:<math>\sqrt{x^2-4}=t-x</math>:<math>x=\frac{4+t^2}{2t}</math>:<math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math>

제2오일러 치환

<math>c>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}</math> 로 치환
예:<math>\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx</math>:<math>\sqrt{1-x^2}=xt+1</math>:<math>x=\frac{2t}{t^2+1}</math>:<math>\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt</math>

제3오일러 치환

<math>ax^2+bx+c=0</math>가 두 실근u,v를 가질때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)</math>로 치환
예:<math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>:<math>\sqrt{x^2-4}=t(x-2)</math>:<math>x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}</math>:<math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math>

타원적분

유리함수 R에 대한 <math>R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})</math> 의 부정적분:<math>\int R (x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx</math> 단, <math>x^3+ax^2+bx+c</math>는 서로 다른 해를 가짐
곡선 <math>y^2=x^3+ax^2+bx+c</math>는 위에서처럼 적당한 유리함수 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다
타원적분

역사

메모

관련된 항목들

사전 형태의 자료

관련도서

Courant, Richard. 1988. Differential and Integral Calculus. John Wiley & Sons.

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