행렬식

개요

• 선형대수학과 행렬이론의 주요 개념
• 유클리드 공간에서의 부피 개념
  • 유클리드 평면의 2차원 벡터 두 개가 만드는 평행사변형의 넓이
  • 유클리드 공간의 3차원 벡터 세 개가 만드는 평행육면체의 부피
• 교대 다중선형형식의 예

정의

• n x n 행렬 \(A=(a_{ij})_{1\le i,j \le n}\)에 대하여, 다음과 같이 행렬식을 정의

\[\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i \sigma(i)}\] 여기서 \(S_n\)은 대칭군 (symmetric group)

• 행렬 \(A=(a_{ij})\)의 행렬식을 \(|a_{i,j}|_{1\le i,j \le n}\) 형태로 표현하기도 함

예

• \(n=1\) 일 때,

\[ \begin{vmatrix} a_{1,1} \end {vmatrix} =a_{1,1} \]

• \(n=2\)일 때,

\[ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end {vmatrix} =a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1} \]

• n=3일 때,

\[ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end {vmatrix} =a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3}-a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2},-a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3}+a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1}+a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2}-a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1} \]

• n=4일 때,

\[ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\ a_{4,1} & a_{4,2} & a_{4,3} & a_{4,4} \end {vmatrix} =a_{1,4} a_{2,3} a_{3,2} a_{4,1}-a_{1,3} a_{2,4} a_{3,2} a_{4,1}-a_{1,4} a_{2,2} a_{3,3} a_{4,1}+a_{1,2} a_{2,4} a_{3,3} a_{4,1}+a_{1,3} a_{2,2} a_{3,4} a_{4,1}-a_{1,2} a_{2,3} a_{3,4} a_{4,1}-a_{1,4} a_{2,3} a_{3,1} a_{4,2}+a_{1,3} a_{2,4} a_{3,1} a_{4,2}+a_{1,4} a_{2,1} a_{3,3} a_{4,2}-a_{1,1} a_{2,4} a_{3,3} a_{4,2}-a_{1,3} a_{2,1} a_{3,4} a_{4,2}+a_{1,1} a_{2,3} a_{3,4} a_{4,2}+a_{1,4} a_{2,2} a_{3,1} a_{4,3}-a_{1,2} a_{2,4} a_{3,1} a_{4,3}-a_{1,4} a_{2,1} a_{3,2} a_{4,3}+a_{1,1} a_{2,4} a_{3,2} a_{4,3}+a_{1,2} a_{2,1} a_{3,4} a_{4,3}-a_{1,1} a_{2,2} a_{3,4} a_{4,3}-a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1} a_{4,4}+a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{4,4}+a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2} a_{4,4}-a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2} a_{4,4}-a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3} a_{4,4}+a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3} a_{4,4} \]

 

예

• 반데몬드 행렬 (Vandermonde matrix)

 

 

메모

• Háková, Lenka, and Agnieszka Tereszkiewicz. “On Immanant Functions Related to Weyl Groups of \(A_n\).” Journal of Mathematical Physics 55, no. 11 (November 2014): 113509. doi:10.1063/1.4901556.
• http://mathoverflow.net/questions/35988/why-were-matrix-determinants-once-such-a-big-deal
• 벡터의 스칼라 삼중곱\[\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}\]

관련된 항목들

• 행렬의 대각합 (trace)
• 벡터의 외적(cross product)
• 외대수(exterior algebra)와 겹선형대수(multilinear algebra)
• 파피안(Pfaffian)

 

 

수학용어번역

• 행렬식, determinant - 대한수학회 수학용어집
• parallelepiped - 대한수학회 수학용어집
  • 평행육면체?

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcE4yakhZTzBDYUE/edit
• http://stackoverflow.com/questions/tagged/determinants

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/행렬식
• http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
• http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_matrix

리뷰, 에세이, 강의노트

• Abeles, Francine F. 2011. “Nineteenth Century Roots of Quasideterminants.” Linear Algebra and Its Applications 435 (5): 1019–1024. doi:10.1016/j.laa.2011.02.010.
• Krattenthaler, C. 2005. “Advanced Determinant Calculus: A Complement.” Linear Algebra and Its Applications 411: 68–166. doi:10.1016/j.laa.2005.06.042. http://arxiv.org/abs/math/0503507
• Krattenthaler, C. 1999. “Advanced Determinant Calculus.” Séminaire Lotharingien de Combinatoire 42: Art. B42q, 67 pp. (electronic). http://www.mat.univie.ac.at/~kratt/artikel/detsurv.html
• Brualdi, Richard A., and Hans Schneider. “Determinantal Identities: Gauss, Schur, Cauchy, Sylvester, Kronecker, Jacobi, Binet, Laplace, Muir, and Cayley.” Linear Algebra and Its Applications 52–53 (July 1983): 769–91. doi:10.1016/0024-3795(83)80049-4.

관련논문

• http://arxiv.org/abs/1512.08747
• Jing, Naihuan, and Jian Zhang. “Quantum Hyperdetermiants and Hyper-Pfaffians.” arXiv:1412.3612 [math], December 11, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.3612.