"리만 곡률 텐서"의 두 판 사이의 차이
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+ | * 리만 곡률 텐서의 대칭성으로 인하여 선형 독립인 리만 곡률 텐서의 성분의 개수는 <math>n^2(n^2-1)/12</math>이 된다 | ||
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− | * 제1기본형식이 <math>E=e(u,v),F=0,G=g(u,v)</math> 로 주어진 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같다 (이외의 <math> R_{jkl}^i</math>는 0이다) | + | * 제1기본형식이 <math>E=e(u,v),F=0,G=g(u,v)</math> 로 주어진 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같다 (이외의 <math> R_{jkl}^i</math>는 0이다):<math> R_{212}^1 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}</math>:<math>R_{112}^2 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}</math>:<math>R_{221}^1 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}</math>:<math>R_{121}^2 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}</math> |
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− | * [[ | + | * [[수학사 연표]] |
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* [http://www.math.sunysb.edu/%7Ebrweber/401s09/coursefiles/Lecture24.pdf http://www.math.sunysb.edu/~brweber/401s09/coursefiles/Lecture24.pdf] | * [http://www.math.sunysb.edu/%7Ebrweber/401s09/coursefiles/Lecture24.pdf http://www.math.sunysb.edu/~brweber/401s09/coursefiles/Lecture24.pdf] | ||
* http://users-phys.au.dk/fedorov/nucltheo/GTR/09/note6.pdf | * http://users-phys.au.dk/fedorov/nucltheo/GTR/09/note6.pdf | ||
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* [[접속 (connection)]] | * [[접속 (connection)]] | ||
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− | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxN2ZmMGViMGQtMmI4Ny00MmI3LWE4ZTYtYmQyNjZiYWVhMTc5&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxN2ZmMGViMGQtMmI4Ny00MmI3LWE4ZTYtYmQyNjZiYWVhMTc5&sort=name&layout=list&num=50 | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor | * http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor | ||
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− | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | |
+ | * Dunn, [http://www.math.csusb.edu/faculty/dunn/lecture1.pdf An Introduction to the Riemann Curvature Tensor and Differential Geometry] | ||
+ | ** 슬라이드 | ||
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− | + | [[분류:미분기하학]] | |
− | * [ | + | ==메타데이터== |
− | * | + | ===위키데이터=== |
− | ** | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q855112 Q855112] |
+ | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
+ | * [{'LOWER': 'riemann'}, {'LOWER': 'curvature'}, {'LEMMA': 'tensor'}] | ||
+ | * [{'LOWER': 'riemann'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'christoffel'}, {'LEMMA': 'tensor'}] |
2021년 2월 17일 (수) 05:41 기준 최신판
개요
- 리만 다양체 위에 정의된 리만 접속 (connection) \(\nabla\)을 생각하자
- 세 개의 벡터장 \(X,Y,Z\)가 주어지면, 새로운 벡터장 \(R(X,Y)Z\)를 다음과 같이 얻는다
\[R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z\]
리만 곡률 텐서
성분
- \({R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = dx^\rho(R(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\partial_{\sigma})\)
- 크리스토펠 기호 를 이용한 성분의 계산
\[{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}+ \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}- \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}\] \[{R^l}_{kij} = \partial_i\Gamma^l_{jk} - \partial_j\Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{is}\Gamma^s_{jk} - \Gamma^l_{js}\Gamma^s_{ik}\] \[R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho \zeta} {R^\zeta}_{\sigma\mu\nu} .\]
성질
- 리만 곡률 텐서는 다음의 대칭성을 갖는다
- \(R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}\)
- \(R_{ijkl}=R_{klij}\)
- \(R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0\), 비앙키 항등식
선형 독립인 항의 개수
- 리만다양체의 차원이 \(n\)이라 하자
- 리만 곡률 텐서의 대칭성으로 인하여 선형 독립인 리만 곡률 텐서의 성분의 개수는 \(n^2(n^2-1)/12\)이 된다
- \(n=2\)일 때, 모든 성분은 0 또는 \(\pm R_{1212}\)
- \(n=3\)일 때, 모든 성분은 0 또는 \(\pm R_{1212},\pm R_{1213},\pm R_{1223},\pm R_{1313},\pm R_{1323},\pm R_{2323}\)
- \(n=4\)일 때, 모든 성분은 0 또는
\[ \pm R_{1212},\pm R_{1213},\pm R_{1214},\pm R_{1223},\pm R_{1224},\\ \pm R_{1234},\pm R_{1313},\pm R_{1314},\pm R_{1323},\pm R_{1324},\\ \pm R_{1334},\pm R_{1414},\pm R_{1423},\pm R_{1424},\pm R_{1434},\\ \pm R_{2323},\pm R_{2324},\pm R_{2334},\pm R_{2424},\pm R_{2434},\\ \pm R_{3434} \]이며, 여기서 \(R_{1234}-R_{1324}+R_{1423}=0\)가 성립
곡률 2형식
- \(R(X,Y)\partial_{j}=\Omega_{j}^{s}(X,Y)\partial_s\)
- \(\,\Omega=d\omega +\frac{1}{2}[\omega,\omega]=d\omega +\omega\wedge \omega\)
- \(\Omega^i_{j}=d\omega^i_{j} +\sum_k \omega^i_{k}\wedge\omega^k_{j}\)
곡면의 경우
- 제1기본형식이 \(E=e(u,v),F=0,G=g(u,v)\) 로 주어진 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같다 (이외의 \( R_{jkl}^i\)는 0이다)\[ R_{212}^1 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}\]\[R_{112}^2 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}\]\[R_{221}^1 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}\]\[R_{121}^2 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}\]
역사
메모
- http://www.math.sunysb.edu/~brweber/401s09/coursefiles/Lecture24.pdf
- http://users-phys.au.dk/fedorov/nucltheo/GTR/09/note6.pdf
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
메타데이터
위키데이터
- ID : Q855112
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'riemann'}, {'LOWER': 'curvature'}, {'LEMMA': 'tensor'}]
- [{'LOWER': 'riemann'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'christoffel'}, {'LEMMA': 'tensor'}]