자코비 세타함수

개요

• \(q=e^{2\pi i \tau}\), \(x=e^{\pi i \tau}\)라 두자
• 세타함수의 정의 (spectral decomposition of heat kernel)

\[\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\] \[\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}\] \[\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\]

• 자코비는 이를 통하여 타원함수론을 전개
• 응용으로 자코비의 네 제곱수 정리, 퐁슬레의 정리 등의 증명에 사용됨
• 모듈라 형식(modular forms)의 예
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind), 타원적분의 singular value k와 밀접한 관계를 가짐\[K(k(\tau)) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(\tau)\]\[k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\]

많이 사용되는 또다른 정의

• 전통적인 세타함수\[\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\]
• 현대의 수학문헌에서는 다음과 같은 함수도 같은 이름으로 자주 사용됨\[\Theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{2\pi i n^2\tau}\,\quad (q=e^{2\pi i \tau})\]

• \(\Theta(\tau)\) 는 \(\Gamma_0(4)\)에 대한 모듈라 형식이 됨\[\Gamma_0(4) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} {*} & {*} \\ 0 & {*} \end{pmatrix} \pmod{4} \right\}\]

여러가지 공식들

• \(\theta_2^4(q)+\theta_4^4(q)=\theta_3^4(q)\)
• \(\theta_3^2(q^2)+\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)\)
• \(\theta_3^2(q^2)-\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)\)

세타함수의 모듈라 성질

정리

세타함수는 다음의 변환 성질을 만족한다 \[\theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau})=\sqrt{-i\tau}\theta({\tau})\] 여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택

증명

포아송의 덧셈 공식을 사용한다. \[\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\]

\(f(x)=e^{\pi i x^2\tau}\)의 푸리에 변환은 다음과 같이 주어진다. \[\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{\xi^2}{\tau}}\] 따라서 \[\theta(\tau)= \sum_{n\in \mathbb Z} \exp(\pi i n^2\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\sum_{n\in \mathbb Z}e^{-\pi i n^2 \frac{1}{\tau}}=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\theta(-\frac{1}{\tau})\] ■

• \(\tau=iy, y>0\) 으로 쓰면, 다음과 같이 표현된다 \[\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy})\]
• \(\Gamma(2)\)에 대한 모듈라 형식이 됨\[\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}\]

더 일반적인 모듈라 변환

더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(ab\equiv 0\pmod 2\), \(cd\equiv 0\pmod 2\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다 \[\theta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(c,d) \sqrt{-i\left(c\tau+d\right)}\theta(\tau) \label{mod}\] 여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i(c\tau+d)}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택하며 (\(\Re\left(-i(c\tau+d)\right) >0\)이다), \[\epsilon(c,d)=\frac{\sqrt{c}}{S(-d,c)}\] 이고 \(S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\)는 가우스 합.

cusp에서의 행동과 가우스합

0 근방에서의 행동

• \(y>0\)가 매우 작을 때,

\[\theta(iy)\sim \frac{1}{\sqrt{y}}\] (증명) \[\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy})\] ■

일반적인 유리수(cusp)에서의 행동

• \(pq\)가 짝수인 자연수 p,q에 대하여 \(y>0\)가 매우 작을 때,

\[\theta(\frac{p}{q}+iy)\sim \frac{1}{q}S(p,q)\frac{1}{\sqrt{y}}\] 여기서 \(S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\)는 가우스 합. 다음과 같이 쓸 수 있다 \[\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{q}S(p,q)\]\[\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(-\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{q}\overline{S(p,q)}\]

• 이 정리에 세타함수의 모듈라 성질을 적용하면, 가우스합의 상호법칙을 얻는다

\[ \sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q) \]

• 가우스 합의 상호법칙(Landsberg-Schaar relation) 항목 참조

증명1

\(\tau =\frac{p}{q}+i y\)와 다음의 행렬 \[ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ q & -p \\ \end{array} \right) \] 에 모듈라 성질 \ref{mod}를 적용하면, 다음을 얻는다 \[ \theta \left(\frac{a}{q}+\frac{i}{q^2 y}\right)= \frac{\sqrt{q}}{S(p,q)} \sqrt{q y}\theta \left(\frac{p}{q}+i y\right)=\frac{q \sqrt{y}}{S(p,q)}\theta \left(\frac{p}{q}+i y\right) \] ■

증명2

다음을 생각하자 \[\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2(\frac{p}{q}+i\epsilon)}= \left(\sum_{r=0}^{q-1}e^{\pi i p r^2/q}\right)\left(\sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (ql+r)^2}\right)\] 여기서 \(n=ql+r\)로 두었음.

따라서, \[\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\left(\frac{1}{q} \sum_{r=0}^{q-1}e^{i\pi p r^2/q}\right)\left(\sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (ql+r)^2} (\sqrt{\epsilon}q)\right).\]

여기서 \(\Delta{x}=\sqrt{\epsilon}q\)로 두면, \[\sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (ql+r)^2} ( \sqrt{\epsilon}q)=\sum_{x\in\sqrt{\epsilon}(q\mathbb{Z}+r)}e^{-\pi x^2}\Delta x.\label{thg}\] \ref{thg}에서 \(\epsilon \to 0\)을 취하면 리만합은 1차원 가우시안 적분 으로 수렴하게 된다. 따라서 \[\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\left(\frac{1}{q} \sum_{r=0}^{q-1}e^{i\pi p r^2/q}\right)(\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2}\,dx)=\frac{1}{q}S(p,q)\] ■

세타함수의 삼중곱 정리(triple product)

• 세타함수의 삼중곱(triple product)

데데킨트 에타함수와의 관계

\(\theta(\tau)=\frac{\eta(\tau)^5}{\eta(2\tau)^2\eta(\frac{\tau}{2})^2}\)

삼중곱 공식을 이용

\(\theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right)\)

\(q=e^{2\pi i \tau}\), \(x=e^{\pi i \tau}\)

• 데데킨트 에타함수 참조

singular value k와의 관계

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

• 타원적분의 singular value k

세타함수와 AGM iteration

\(\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3^2(q^2)\)

\(\sqrt{\theta_3^2(q)\theta_4^2(q)}=\theta_4^2(q^2)\)

따라서 \(a_n=\theta_3^2(q^{2^n}),b_n=\theta_4^2(q^{2^n})\) 라 하면, \(a_n, b_n\)은 AGM iteration 을 만족하고 \(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)이고, \(1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))\)가 된다.

제1종타원적분과의 관계

(정리)

주어진 \(0<k<1\) 에 대하여, \(k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}\)를 만족시키는 \(q\)가 존재한다. 이 때,

\(M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)\) 와 \(K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)가 성립한다.

여기서 \(K(k)\)는 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind).

(증명)

\(1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))=\theta_3^{2}(q)M(1,\frac{\theta_4^2(q)}{\theta_3^2(q)})=\theta_3^{2}(q)M(1,k')\)

그러므로, \(M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)\)이다.

한편, 란덴변환에 의해 \(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)가 성립(산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산 , 란덴변환(Landen's transformation) 참조)하므로, \(K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)도 증명된다. (증명끝)

special values

\(\theta_3(i)=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}=1.08643481121\cdots\)

(증명)

감마함수의 다음 성질을 사용하면\(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)

\(\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4}) = \sqrt{2}{\pi} \)

위에서 증명한 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)과의 관계로부터

\(K(k(\tau)) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(\tau)\)

\(\frac{\pi}{2}\theta_3^2(i)=K(k_1)=K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}\)

\(\theta_3^2(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{2{\pi}^{3/2}}=\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})^2}\) ■

\(\theta_3(i)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}\)

재미있는 사실

\(f(\tau)=1+2\sum_{n=1}^{\infty}e^{\pi i n \tau}\)

\(f(i)=1+2\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n\pi}= \frac{e^{\pi} + 1} {e^{\pi} - 1}\)

\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\)

\(\theta(i)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}\)

\(\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\pi n}=\frac{e^{\pi}}{e^{\pi}-1}\)

\(\sum_{n=0}^\infty e^{-\pi n^2}=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{2\Gamma(\frac{3}{4})}+\frac{1}{2}\)

\(\sum_{n=0}^\infty e^{-\pi n^3}=?\)

\(\sum_{n=0}^\infty e^{-\pi n^4}=?\)

관련된 항목들

• 타원함수
• 자코비 세타함수와 자코비 형식
• AGM과 파이값의 계산
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
• 이차형식
• 모듈라 형식(modular forms)
• 격자의 세타함수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxajFqYUM5ZEVQaVE/edit

관련도서

• A First Course in Modular Forms (Graduate Texts in Mathematics)
  • Fred Diamond and Jerry Shurman, 18-19p
• Richard Bellman, A Brief Introduction to Theta Functions
• David Mumford Tata Lectures on Theta I,II,III

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Theta_functions
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions

관련논문

• Kazuhide Matsuda, Derivative formulas for \(Γ(3), Γ(4), Γ(5)\) and \(Γ(6)\), arXiv:1606.07753 [math.CA], June 18 2016, http://arxiv.org/abs/1606.07753

• Quadratic reciprocity and the theta function (reciprocity.pdf )
  • Terence Tao
• On a classical theta-function
  • Tomio Kubota, Nagoya Math. J. Volume 37 (1970), 183-189
• Applications of Theta Functions to Arithmetic
  • G. D. Nichols, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 6 (Jun. - Jul., 1938), pp. 363-368

• Karl Gustav Jacob Jacobi
  • Jacobi's Four Square Theorem. (Also available in postscript format [11 pages].) [CONSTRUCTION IN PROGRESS]

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노트

말뭉치

1. See Jacobi theta functions (notational variations) for further discussion.
2. More broadly, this section includes quasi-doubly periodic functions (such as the Jacobi theta functions) and other functions useful in the study of elliptic functions.
3. JacobiTheta(j, z, tau) , rendered as θ j ⁣ ( z , τ ) \theta_{j}\!\left(z , \tau\right) θ j ​ ( z , τ ) , denotes a Jacobi theta function.
4. There are four Jacobi theta functions, identified by the index j ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } j \in \left\{1, 2, 3, 4\right\} j ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } .
5. The values of the Jacobi theta functions at z = 0 z = 0 z = 0 are known as theta constants.
6. ( z , τ ) , represents the order r r r derivative of the Jacobi theta function with respect to the argument z z z .
7. The following table illustrates the quasi-double periodicity of the Jacobi theta functions.
8. Any Jacobi theta function of given arguments can be expressed in terms of any other two Jacobi theta functions with the same arguments.
9. The plots above show the Jacobi theta functions plotted as a function of argument and nome restricted to real values.
10. The Jacobi theta functions satisfy an almost bewilderingly large number of identities involving the four functions, their derivatives, multiples of their arguments, and sums of their arguments.
11. Previously, we proved an addition formula for the Jacobi theta function, which allows us to recover many important classical theta function identi- ties.
12. We rst need to introduce the Jacobi theta functions.
13. Let 1, 2, 3, and 4 be the Jacobi theta functions.
14. This identity includes many well-known addition formulas for the Jacobi theta functions.
15. We use Jacobi theta functions to construct examples of Jacobi forms over number fields.
16. We determine the behavior under modular transformations by regarding certain coefficients of the Jacobi theta functions as specializations of symplectic theta functions.
17. In addition, we show how sums of those Jacobi theta functions appear as a single coefficient of a symplectic theta function.
18. For those parameters for which this equation reduces to the heat equation, Θ(x,t) reduces to the third Jacobi Theta function.
19. They generalize modular forms, have an associated weight and index (which is a positive half-integer), and include the classical Jacobi theta function.
20. We rst recall some properties of the Jacobi theta function.
21. Previously, we proved an addition formula for the Jacobi theta function, which allows us to recover many important classical theta function identities.
22. This section is about a more general theta function, called the Jacobi theta function.
23. The Jacobi theta function has the following properties: Two-fold periodicity in z (up to a phase, for xed ).

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