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| + | * [[2차 방정식의 근의 공식]] :<math>ax^2+bx+c=0</math> :<math>x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> | ||
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| + | * 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 <math>F=R_0</math> | ||
| + | * 적당한 원소 <math>a_0 \in R_0</math>와 소수 <math>n_0</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math> | ||
| + | * 적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 소수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math> | ||
| + | * 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자. | ||
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| + | * 두개의 복소수해와 3개의 실수해를 가짐 | ||
| + | * 갈루아군은 <math>S_5</math>은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다 | ||
| + | * 따라서 이 방정식의 해는 유리수로부터 시작하여 사칙연산과 거듭제곱근을 사용하여 표현가능하지 않다 | ||
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| + | :<math>x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0</math> | ||
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| + | * 1820년대 아벨에 의해 증명 | ||
| + | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation | ||
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* [[추상대수학]] | * [[추상대수학]] | ||
| + | * [[고교생도 이해할 수 있는 군론 입문]] | ||
| + | * [[군론(group theory)|군론]] | ||
| + | * [[갈루아 이론]] | ||
| + | * [[체론(field theory)]] | ||
* [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]] | * [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]] | ||
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| − | + | ==수학용어번역== | |
| + | * {{수학용어집|url=radical}} | ||
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| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
| − | * | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem |
* http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension | * http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension | ||
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| − | + | ==관련논문== | |
| − | < | + | * [http://www.springerlink.com/content/0620513v46601g12/ Variations on the theme of solvability by radicals] |
| + | ** A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 259, Number 2 / 2007년 12월 | ||
| + | * [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form] | ||
| + | ** A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736 | ||
| + | * [http://www.jstor.org/stable/2974763 Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree] | ||
| + | ** Michael I. Rosen, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505 | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
| − | + | * Abel's Proof | |
| + | ** Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p | ||
| + | * [http://www.amazon.com/Galois-Theory-Algebraic-Equations-Jean-Pierre/dp/9810245416/ref=sr_1_1/192-3053250-5244809?ie=UTF8&s=books&qid=1228931227&sr=1-1 Galois' Theory of Algebraic Equations] | ||
| + | ** Jean-Pierre Tignol, Chapter 13. Ruffini and Abel on general equations | ||
| + | * [http://www.amazon.com/Functions-Integrals-Translations-Mathematical-Monographs/dp/0821805878 Elliptic functions and elliptic integrals] | ||
| + | ** Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation | ||
| + | [[분류:방정식과 근의 공식]] | ||
| + | [[분류:추상대수학]] | ||
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q313421 Q313421] | |
| − | + | ===Spacy 패턴 목록=== | |
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2021년 2월 17일 (수) 03:46 기준 최신판
개요
- 표준적인 증명은 거듭제곱근 체확장(radical extension) 과 가해군(solvable group) 항목을 참조
방정식의 근의 공식
- 방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
- 2차 방정식의 근의 공식 \[ax^2+bx+c=0\] \[x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
- 3차, 4차 방정식의 근의 공식\[x^3 + px + q = 0\]\[x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \]
거듭제곱근 체확장
- 체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 체론(field theory) 항목을 참조
- 거듭제곱근 체확장(radical extension) 항목에서 자세히 다룸
- 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 \(F=R_0\)
- 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
- 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
- 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.
5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명
5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론
대수학의 표준적인 증명
- 갈루아 이론을 사용하는 증명
- \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
- 두개의 복소수해와 3개의 실수해를 가짐
- 갈루아군은 \(S_5\)은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다
- 따라서 이 방정식의 해는 유리수로부터 시작하여 사칙연산과 거듭제곱근을 사용하여 표현가능하지 않다
일반적인 n차 방정식
- \(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)
- \(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)
- 방정식
\[x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\]
메모
역사
- 1820년대 아벨에 의해 증명
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation
- 수학사 연표
관련된 항목들
수학용어번역
- radical - 대한수학회 수학용어집
사전 형태의 자료
관련논문
- Variations on the theme of solvability by radicals
- A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
- On solvability and unsolvability of equations in explicit form
- A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
- Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree
- Michael I. Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505
관련도서
- Abel's Proof
- Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p
- Galois' Theory of Algebraic Equations
- Jean-Pierre Tignol, Chapter 13. Ruffini and Abel on general equations
- Elliptic functions and elliptic integrals
- Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation
메타데이터
위키데이터
- ID : Q313421
Spacy 패턴 목록
- [{'LEMMA': 'Abel'}]