"반사 변환"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 02:27 기준 최신판

개요

n 차원 공간의 초평면에 대한 반사

벡터 해석학을 이용한 반사 공식의 유도

법벡터를 \(\alpha\neq 0\)로 갖는 초평면 \(H_{\alpha,c}=\{x\in \mathbb{R}^n|\alpha\cdot x=c\}\)을 생각하자
벡터 \(x\)를 \(H_{\alpha,c}\)에 반사시켰을 때 얻어지는 벡터를 \(x'\)라 하자
임의의 점 \(x_0\in H_{\alpha,c}\)를 선택하면, 벡터 \(x-x_0\)의 \(H_{\alpha,c}\)에 수직한 성분은

\[ \frac{(x-x_0)\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha=\frac{x\cdot \alpha-c}{|\alpha|^2}\alpha \] 로 주어진다

따라서

\[ x'=x-\frac{2x\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha+\frac{2c}{|\alpha|^2}\alpha \]

\(\alpha^{\vee}=\frac{2\alpha}{|\alpha|^2}\)로 두면, 다음과 같이 표현된다

\[ x'=x-(x\cdot\alpha^{\vee})\alpha+c\alpha^{\vee} \]

특수한 경우

\(c=0\)이고 \(\alpha=\left(\cos (\theta ),\sin (\theta )\right)\) 이면, 반사변환은 선형사상으로 다음 행렬로 표현된다

\[\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)\]

정이면체군(dihedral group)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR2poNlZLVnEwOXc/edit

사전형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_%28mathematics%29

메타데이터

위키데이터

ID : Q426221

Spacy 패턴 목록

[{'LEMMA': 'reflection'}]
[{'LEMMA': 'reflexion'}]

@@ 5번째 줄: / 5번째 줄: @@
 ==벡터 해석학을 이용한 반사 공식의 유도==
-* 법벡터를 $\alpha\neq 0$로 갖는 초평면 $H_{\alpha,c}=\{x\in \mathbb{R}^n|\alpha\cdot x=c\}$을 생각하자
+* 법벡터를 <math>\alpha\neq 0</math>로 갖는 초평면 <math>H_{\alpha,c}=\{x\in \mathbb{R}^n|\alpha\cdot x=c\}</math>을 생각하자
-* 벡터 $x$를 $H_{\alpha,c}$에 반사시켰을 때 얻어지는 벡터를 $x'$라 하자
+* 벡터 <math>x</math>를 <math>H_{\alpha,c}</math>에 반사시켰을 때 얻어지는 벡터를 <math>x'</math>라 하자
-* 임의의 점 $x_0\in H_{\alpha,c}$를 선택하면, 벡터 $x-x_0$의 $H_{\alpha,c}$의 $H_{\alpha,c}$에 수직한 성분은
+* 임의의 점 <math>x_0\in H_{\alpha,c}</math>를 선택하면, 벡터 <math>x-x_0</math>의 <math>H_{\alpha,c}</math>에 수직한 성분은
-$$
+:<math>
 \frac{(x-x_0)\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha=\frac{x\cdot \alpha-c}{|\alpha|^2}\alpha
-$$
+</math>
 로 주어진다
 * 따라서
-$$
+:<math>
 x'=x-\frac{2x\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha+\frac{2c}{|\alpha|^2}\alpha
-$$
+</math>
-* $\alpha^{\vee}=\frac{2\alpha}{|\alpha|^2}$로 두면, 다음과 같이 표현된다
+* <math>\alpha^{\vee}=\frac{2\alpha}{|\alpha|^2}</math>로 두면, 다음과 같이 표현된다
-$$
+:<math>
 x'=x-(x\cdot\alpha^{\vee})\alpha+c\alpha^{\vee}
-$$
+</math>
 ==특수한 경우==
-* $c=0$이고 $\alpha=\left(\cos (\theta ),\sin (\theta )\right)$ 이면, 반사변환은 선형사상으로 다음 행렬로 표현된다
+* <math>c=0</math>이고 <math>\alpha=\left(\cos (\theta ),\sin (\theta )\right)</math> 이면, 반사변환은 선형사상으로 다음 행렬로 표현된다
 :<math>\left( \begin{array}{cc}  -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\  -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)</math>
+* [[정이면체군(dihedral group)]]
+==관련된 항목들==
+* [[유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)]]
+* [[벡터의 내적]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR2poNlZLVnEwOXc/edit
+==사전형태의 자료==
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_%28mathematics%29
+[[분류:기하학적 변환]]
+[[분류:테셀레이션]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q426221 Q426221]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LEMMA': 'reflection'}]
+* [{'LEMMA': 'reflexion'}]