"복소곱을 갖는 타원곡선과 singular moduli 강의노트"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
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| (같은 사용자의 중간 판 24개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
==개요== | ==개요== | ||
| − | 다항식 | + | 다항식 <math>x^2+x+41</math>이 <math>x= 0,1,\cdots, 39</math>일 때 소수라는 사실은 잘 알려져 있다. ([[오일러의 소수생성다항식 x²+x+41]]) 그러나 이것이 끝이 아니며, 여기에 이어지는 다음과 같은 멋진 이야기가 있다. |
| − | + | :<math> | |
e^{\sqrt{163}\pi}= 262537412640768743.99999999999925007\cdots | e^{\sqrt{163}\pi}= 262537412640768743.99999999999925007\cdots | ||
| − | + | </math> | |
| − | 이 두 가지 사실은 모두 정수환 | + | 이 두 가지 사실은 모두 정수환 <math>\mathbb{Z}[\frac{-1+\sqrt{-163}}{2}]</math>의 성질로부터 얻어지는 것으로 ([[숫자 163]]), 많은 아름다운 19세기의 수학과 연관되어 있다. 아래에선 이 사실을 어떻게 이해할 수 있는지에 대하여 설명한다. 이를 이해하면, 다음과 같은 예를 더 찾아낼 수 있다. |
| − | + | :<math> | |
e^{\sqrt{43}\pi}= 884736743.99977746603\cdots \\ | e^{\sqrt{43}\pi}= 884736743.99977746603\cdots \\ | ||
| − | e^{\sqrt{67}\pi}= 147197952743.9999986624 | + | e^{\sqrt{67}\pi}= 147197952743.9999986624\cdots |
| − | + | </math> | |
==아이디얼은 격자이다== | ==아이디얼은 격자이다== | ||
| − | * 수체 | + | * 수체 <math>K</math>의 정수환 <math>\mathcal{O}_K</math>는 유한생성 <math>\mathbb{Z}</math>-모듈이며, 따라서 격자로 이해할 수 있다 |
| − | * 아이디얼 = | + | * 아이디얼 = <math>\mathcal{O}_K</math>의 곱에 의해 닫혀있는 부분격자 |
* 격자사이의 닮음 관계 <-> 아이디얼에 정의되는 동치관계 | * 격자사이의 닮음 관계 <-> 아이디얼에 정의되는 동치관계 | ||
* 동치가 아닌 아이디얼류의 개수를 유수라 하며, 유수가 1이면 PID (principal ideal domain)이 된다 | * 동치가 아닌 아이디얼류의 개수를 유수라 하며, 유수가 1이면 PID (principal ideal domain)이 된다 | ||
| − | * 가령 왜 | + | * 가령 왜 <math>\mathbb{Z}</math>가 PID인가? 모든 아이디얼은 기하학적으로 <math>\mathbb{Z}</math>와 똑같이 생겼다 |
* 질문 : 유수가 1인 모든 허 이차수체를 찾아라 | * 질문 : 유수가 1인 모든 허 이차수체를 찾아라 | ||
| − | * 답 : | + | * 답 : <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-d})</math>, <math>d=1,2,3,7,11,19,43,67,163</math> |
* [[가우스의 class number one 문제]] 항목 참조 | * [[가우스의 class number one 문제]] 항목 참조 | ||
===예=== | ===예=== | ||
| − | * | + | * <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})</math>인 경우, <math>h_K=3</math> |
| − | * 판별식이 | + | * 판별식이 <math>\Delta=-23</math>인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] |
| − | + | :<math> | |
x^2+xy+6y^2,2 x^2-xy+3y^2,2 x^2+xy+3y^2 | x^2+xy+6y^2,2 x^2-xy+3y^2,2 x^2+xy+3y^2 | ||
| − | + | </math> | |
* [[숫자 23과 다항식 x³-x+1]] 항목 참조 | * [[숫자 23과 다항식 x³-x+1]] 항목 참조 | ||
* 대응되는 아이디얼은 | * 대응되는 아이디얼은 | ||
| − | + | :<math> | |
[1,\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{-23}\right)],[2,\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-23}\right)],[2,\frac{1}{2} \left(-1+ \sqrt{-23}\right)] | [1,\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{-23}\right)],[2,\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-23}\right)],[2,\frac{1}{2} \left(-1+ \sqrt{-23}\right)] | ||
| − | + | </math> | |
==타원곡선과 격자== | ==타원곡선과 격자== | ||
| − | * | + | * <math>\mathbb{C}</math> 위의 타원곡선은 어떤 격자 <math>\Lambda</math>에 대하여 <math>\mathbb{C}/\Lambda</math>의 꼴로 주어진다 |
| − | * | + | * <math>E:y^2=4x^3-g_2x-g_3</math>, <math>g_2^3-27g_3^2\neq 0</math>에서 <math>\mathbb{C}/\Lambda</math>을 얻으려면 [[아벨-야코비 정리]] |
| − | + | * <math>\Lambda</math>에서 <math>E</math>을 얻으려면 [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]]을 사용 | |
| − | + | :<math> | |
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| − | * | ||
| − | |||
\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Lambda,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right) | \wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Lambda,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right) | ||
| − | + | </math> | |
* 다음을 만족한다 | * 다음을 만족한다 | ||
| − | + | :<math>\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3</math> | |
여기서 | 여기서 | ||
| − | + | :<math> | |
g_2= 60\sum_{\omega \in \Lambda, \omega\neq 0} \omega^{-4}\\ | g_2= 60\sum_{\omega \in \Lambda, \omega\neq 0} \omega^{-4}\\ | ||
g_3=140\sum_{\omega \in \Lambda, \omega\neq 0} \omega^{-6} | g_3=140\sum_{\omega \in \Lambda, \omega\neq 0} \omega^{-6} | ||
| − | + | </math> | |
==복소곱(complex multiplication)== | ==복소곱(complex multiplication)== | ||
| − | * | + | * <math>E:y^2=4x^3-g_2x-g_3</math> (<math>g_2^3-27g_3^2\neq 0</math>을 만족), <math>O_{E}=(\infty^2,\infty^3)</math> |
| + | * <math>\phi : E_1\to E_2</math> | ||
| + | :<math> | ||
| + | \phi(x,y)=(\frac{\text{poly in }x,y}{\text{poly in }x,y},\frac{\text{poly in }x,y}{\text{poly in }x,y}),\quad \phi(O_{E_1})=O_{E_2} | ||
| + | </math> | ||
| + | 를 isogeny라 함 | ||
| + | * 격자들 사이의 관점에서 보면 | ||
| + | :<math>\operatorname{Hom}(\mathbb{C}/\Lambda_1,\mathbb{C}/\Lambda_2)=\{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha \Lambda_1 \subseteq \Lambda_2\}</math> | ||
| + | * <math>\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau</math>, <math>\Im\tau >0</math>라 하자. | ||
* 타원곡선 <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math> | * 타원곡선 <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math> | ||
| − | * | + | * <math>\operatorname{End}({E})=\{\alpha\in \mathbb{C} | \alpha \Lambda \subseteq \Lambda\}</math> |
* <math>\alpha\in\mathbb{Z}</math>에 대하여, <math>\alpha\tau \in\Lambda</math>이고 따라서 <math>\mathbb{Z}\subset \operatorname{End}({E})</math> | * <math>\alpha\in\mathbb{Z}</math>에 대하여, <math>\alpha\tau \in\Lambda</math>이고 따라서 <math>\mathbb{Z}\subset \operatorname{End}({E})</math> | ||
* 대부분의 경우, <math>\operatorname{End}({E})=\mathbb{Z}</math> | * 대부분의 경우, <math>\operatorname{End}({E})=\mathbb{Z}</math> | ||
| − | * 만약 <math>\operatorname{End}({E})\neq \mathbb{Z}</math>이면, 즉 <math>\mathbb{Z}\subsetneq \operatorname{End}({E})</math>, | + | * 만약 <math>\operatorname{End}({E})\neq \mathbb{Z}</math>이면, 즉 <math>\mathbb{Z}\subsetneq \operatorname{End}({E})</math>, <math>E</math>가 복소곱을 갖는다고 한다 |
* <math>E</math>가 복소곱을 갖는다고 하자. | * <math>E</math>가 복소곱을 갖는다고 하자. | ||
* 그러면 <math>\alpha\in\operatorname{End}({E})\backslash\mathbb{Z}</math>가 존재해야 한다. | * 그러면 <math>\alpha\in\operatorname{End}({E})\backslash\mathbb{Z}</math>가 존재해야 한다. | ||
| 67번째 줄: | 67번째 줄: | ||
* <math>\alpha\cdot \tau \in\Lambda</math>이므로 적당한 정수 <math>p, q</math>에 대하여, <math>\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau</math> | * <math>\alpha\cdot \tau \in\Lambda</math>이므로 적당한 정수 <math>p, q</math>에 대하여, <math>\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau</math> | ||
* 그러므로 | * 그러므로 | ||
| − | :<math>n\tau^2 | + | :<math>n\tau^2+(m-q)\tau-p=0,\quad n \neq 0</math> |
| − | * 따라서, <math>E</math>가 복소곱을 가지면, <math>\tau</math>는 정수계수를 갖는 이차방정식을 만족해야 한다. 따라서 | + | * 따라서, <math>E</math>가 복소곱을 가지면, <math>\tau</math>는 정수계수를 갖는 이차방정식을 만족해야 한다. 따라서 <math>\tau</math>는 허의 이차수 (imaginary quadratic)가 되어야 한다 |
| − | == | + | ==<math>\operatorname{End}(E)</math>의 이해== |
| − | * 질문 : 허의 이차수 | + | * 질문 : 허의 이차수 <math>\tau</math>에 대하여, <math>\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau</math>, <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>라 할 때, <math>\operatorname{End}(E)</math>은 무엇인가? |
;명제 | ;명제 | ||
| − | 허의 이차수 | + | 허의 이차수 <math>\tau</math>의 최소다항식 <math>A\tau^2+B\tau+C=0</math>가 <math>A\neq 0,B,C\in \mathbb{Z}</math>와 <math>\gcd(A,B,C)=1</math>를 만족한다고 하자. 이 때, 다음이 성립한다 |
| − | + | :<math> | |
\operatorname{End}(E)=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau | \operatorname{End}(E)=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau | ||
| − | + | </math> | |
;증명 | ;증명 | ||
다음을 쉽게 확인할 수 있다. | 다음을 쉽게 확인할 수 있다. | ||
| − | + | :<math>(A\tau)\cdot \tau=-B\tau-C</math> | |
| − | 따라서 | + | 따라서 <math> \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau \subseteq \operatorname{End}(E)</math> |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | 관계 <math>\operatorname{End}(E)\subseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau</math>를 보이려 한다. | ||
| + | <math>z=a+b\tau\in \operatorname{End}(E)\backslash\mathbb{Z}</math>이면, <math>z\cdot 1=a+b\tau\in \Lambda</math>이므로 <math>a,b\in \mathbb{Z}</math>이고 <math>b\neq 0</math>. 따라서 <math>z'=b\tau \in \operatorname{End}(E)</math>이다. 이 때, 적당한 <math>c,d\in \mathbb{Z}</math>에 대하여 <math>z'\cdot \tau=c+d\tau</math>이 성립하고 따라서 | ||
| + | :<math>b\tau^2-d\tau-c=0.</math> | ||
| + | 최소다항식에 대한 주어진 가정으로부터, <math>b</math>는 <math>A</math>의 배수가 되어야 함을 알 수 있다. ■ | ||
| + | * <math>(A\tau)^2+B(A\tau)+AC=0</math>라는 사실은 <math>A\tau</math>가 대수적 정수임을 보여준다 | ||
| + | * 환 <math>\operatorname{End}(E)</math>는 허 이차수체의 order이다 | ||
==주어진 자기준동형사상 환(endomorphism ring)을 갖는 타원곡선== | ==주어진 자기준동형사상 환(endomorphism ring)을 갖는 타원곡선== | ||
| − | * 허 이차수체 | + | * 허 이차수체 <math>K</math>와 <math>\mathcal{O}_K</math>를 고정하자. 적당한 <math>\tau\in \mathcal{O}_K</math>에 대하여 <math>K=\mathbb{Q}(\tau)</math>꼴로 쓸 수 있다. |
| − | * | + | * <math>\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K</math>를 만족하는 모든 격자 <math>\Lambda</math>를 찾으려 한다. |
;정리 | ;정리 | ||
| − | + | <math>\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K</math>과 <math>\Lambda</math>가 <math>\mathcal{O}_K</math>의 아이디얼과 닮음이라는 사실은 서로 동치이다. | |
;증명 | ;증명 | ||
(=>) | (=>) | ||
| − | + | <math>\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\eta</math>, <math>\tau\in \operatorname{End}(E_{\Lambda})\backslash\mathbb{Z}</math>라 하자. | |
| − | + | <math>\tau\cdot 1\in \Lambda</math>이므로 <math>\tau=a+b\eta</math>, <math>b\neq 0</math>. 따라서 <math>b\eta =\tau-a</math>. | |
| − | 그러므로 | + | 그러므로 <math>\Lambda</math>는 <math>b\Lambda=b\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(b\eta)=b\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(\tau-a)</math>와 닮음이다. |
| − | 이제 | + | 이제 <math>a\in \mathcal{O}_{K}</math>에 대하여, <math>a\Lambda \subseteq \Lambda</math>라는 사실로부터 <math>\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K</math>. 따라서 <math>\Lambda</math>는 <math>\mathcal{O}_K</math>의 아이디얼과 닮음이다 |
(<=) | (<=) | ||
| − | 역으로, | + | 역으로, <math>\Lambda=[\omega_1,\omega_2],\quad \omega_1,\omega_2\in \mathcal{O}_K</math>가 <math>\mathcal{O}_K</math>의 아이디얼인 경우, <math>\operatorname{End}(E_{\Lambda})\supseteq \mathcal{O}_K</math>. 이 때, <math>\omega_2/\omega_1\in K</math>이므로, 만약 <math>\alpha\in \operatorname{End}(E_{\Lambda})=\operatorname{End}(E_{\omega_2/\omega_1})</math>이면, <math>\alpha \in K</math>이고, 이는 대수적 정수가 되어야 한다. 따라서 <math>\operatorname{End}(E_{\Lambda})= \mathcal{O}_K</math>. ■ |
| − | == | + | |
| − | * | + | ==<math>j</math>-불변량== |
| − | * | + | * <math>E:y^2=4x^3-g_2x-g_3</math> |
| − | + | * <math>E</math>의 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|j-불변량]]은 다음과 같이 정의된다 | |
| + | :<math> | ||
j(E)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2} | j(E)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2} | ||
| − | + | </math> | |
| − | * 이는 다시 다음과 같이 주어지는 함수 | + | * 타원곡선과 격자 사이의 대응관계를 이용하면, 이는 다시 다음과 같이 주어지는 함수 <math>j:\mathbb{H}\to \mathbb{C}</math>로 이해할 수 있다 |
:<math> | :<math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| 120번째 줄: | 118번째 줄: | ||
&=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n \\ | &=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n \\ | ||
\end{align} | \end{align} | ||
| − | </math> 여기서 | + | </math> 여기서 <math>q=e^{2\pi i\tau}</math>이고, <math>\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3</math> |
| − | + | * circle method에 의해 다음을 얻을 수 있다 (<math>j(\tau)</math>의 모듈라 성질이 여기에 중요한 역할을 한다) | |
| − | * circle method에 의해 다음을 얻을 수 있다 ( | + | :<math> |
| − | + | c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}} | |
| − | c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\ | + | </math> |
| − | + | ===테이블=== | |
| + | \begin{array}{c|c} | ||
| + | n & c(n) \\ | ||
| + | \hline | ||
| + | -1 & 1 \\ | ||
| + | 0 & 744 \\ | ||
| + | 1 & 196884 \\ | ||
| + | 2 & 21493760 \\ | ||
| + | 3 & 864299970 \\ | ||
| + | 4 & 20245856256 \\ | ||
| + | 5 & 333202640600 \\ | ||
| + | 6 & 4252023300096 \\ | ||
| + | 7 & 44656994071935 \\ | ||
| + | 8 & 401490886656000 \\ | ||
| + | 9 & 3176440229784420 \\ | ||
| + | 10 & 22567393309593600 | ||
| + | \end{array} | ||
| − | == | + | ==<math>E</math>와 <math>j(E)</math>에 대한 갈루아 작용== |
| − | * | + | * <math>E:y^2=4x^3-g_2x-g_3</math> |
| − | * | + | * <math>\sigma\in \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})</math>에 대하여, <math>E^{\sigma} :y^2=4x^3-\sigma(g_2)x-\sigma(g_3)</math>라 정의하자. |
| − | * 그러면 isogeny가 유리함수라는 사실로부터 | + | * 그러면 isogeny가 유리함수라는 사실로부터 <math>\operatorname{End}(E)=\operatorname{End}(E^{\sigma})</math>를 알 수 있다. |
| − | * | + | * <math>K</math>가 허 이차수체라 하자. |
| − | * | + | * <math>\operatorname{End}(E)\cong \mathcal{O}_K</math>를 만족하는 타원곡선의 동형류는 유한개, 즉 <math>E_1,\cdots, E_{h_{K}}</math>로 주어진다. 여기서 <math>h_K</math>는 수체 <math>K</math>의 유수 |
| − | * | + | * <math>\operatorname{End}(E)\cong \mathcal{O}_K</math>을 만족하는 타원곡선 <math>E</math>에 대하여, <math>j(E)^{\sigma}=j(E^{\sigma})</math>이므로 <math>\{j(E)^{\sigma}|\sigma\in \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})\}</math>는 유한집합이 된다. |
| − | * 이는 | + | * 이는 <math>j(E)</math>가 차수가 <math>h_{K}</math> 이하인 대수적수임을 보여준다 |
* 사실은 더 많은 것이 알려져 있다. | * 사실은 더 많은 것이 알려져 있다. | ||
;정리 | ;정리 | ||
| − | 타원곡선 | + | 타원곡선 <math>E</math>가 복소곱을 갖는 경우, <math>j(E)</math>는 차수가 <math>h_K</math>인 대수적 정수이다. 특별히 <math>h_K=1</math>인 경우, <math>j(E)\in \mathbb{Z}</math>이다. |
;증명 | ;증명 | ||
| 144번째 줄: | 158번째 줄: | ||
===예=== | ===예=== | ||
| − | * | + | * <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})</math>, <math>h_K=3</math> |
| − | + | :<math> | |
| − | j\left(\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{-23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+\sqrt{-23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+ \sqrt{-23}\right)\right) | + | j\left(\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{-23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+\sqrt{-23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+ \sqrt{-23}\right)\right)</math> |
* 이들은 다음 다항식의 근이다 | * 이들은 다음 다항식의 근이다 | ||
| − | + | :<math> | |
x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375 | x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375 | ||
| − | + | </math> | |
| + | |||
| + | ===테이블=== | ||
| + | \begin{array}{c|c|c|c} | ||
| + | \tau & j(\tau) & \sqrt[3]{j(\tau )} & \text{factorization} \\ | ||
| + | \hline | ||
| + | i & 1728 & 12 & 2^6\cdot 3^3 \\ | ||
| + | i \sqrt{2} & 8000 & 20 & 2^6\cdot 5^3 \\ | ||
| + | \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right) & 0 & 0 & 0 \\ | ||
| + | \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{7}\right) & -3375 & -15 & -3^3 5^3 \\ | ||
| + | \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{11}\right) & -32768 & -32 & -2^{15} \\ | ||
| + | \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{19}\right) & -884736 & -96 & -2^{15} 3^3 \\ | ||
| + | \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{43}\right) & -884736000 & -960 & -2^{18} 3^3 5^3 \\ | ||
| + | \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{67}\right) & -147197952000 & -5280 & -2^{15} 3^3 5^3 11^3 \\ | ||
| + | \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{163}\right) & -262537412640768000 & -640320 & -2^{18} 3^3 5^3 23^3 29^3 | ||
| + | \end{array} | ||
==거의 정수== | ==거의 정수== | ||
| − | * 따라서 | + | * 따라서 <math>j(\frac{-1+\sqrt{-163}}{2})\in \mathbb{Z}</math>. 실제로 다음과 같은 값을 얻을 수 있다. |
| − | + | :<math>j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3</math> | |
| − | * | + | * 이에 대해서는 [[타원 모듈라 j-함수의 singular moduli]]항목을 참조 |
| + | * <math>q^n=e^{\pi i (-1+\sqrt{163}i)n}=(-1)^n (e^{-\sqrt{163}\pi})^n</math> | ||
* 그러므로 | * 그러므로 | ||
| − | + | :<math> | |
| − | -e^{\sqrt{163}\pi}+744-196884 e^{-\sqrt{163}\pi}+21493760 (e^{-\sqrt{163}\pi})^2+\cdots =-262537412640768000 | + | \begin{align} |
| − | + | j(\frac{-1+\sqrt{-163}}{2})&=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n)(-1)^n (e^{-\sqrt{163}\pi})^n \\ | |
| − | * 다음과 같은 | + | &=-e^{\sqrt{163}\pi}+744-196884 e^{-\sqrt{163}\pi}+21493760 (e^{-\sqrt{163}\pi})^2+\cdots \\ |
| − | + | &=-262537412640768000 | |
| + | \end{align} | ||
| + | </math> | ||
| + | * 다음과 같은 근사식이 성립하고 따라서 <math>c(n)q^n</math>는 0으로 빠르게 수렴한다 | ||
| + | :<math> | ||
c(n)q^n\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}(e^{-\sqrt{163}\pi})^n | c(n)q^n\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}(e^{-\sqrt{163}\pi})^n | ||
| − | + | </math> | |
| − | |||
* 따라서 | * 따라서 | ||
| − | + | :<math> | |
e^{\sqrt{163}\pi}= 262537412640768000+744+\text{very small number}=262537412640768743.99999999999925007\cdots | e^{\sqrt{163}\pi}= 262537412640768000+744+\text{very small number}=262537412640768743.99999999999925007\cdots | ||
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| + | -1 & 1 & -e^{\sqrt{163}\pi} \\ | ||
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| + | 1 & 196884 & -0.00000000000074992740280181462296 \\ | ||
| + | 2 & 21493760 & 0.00000000000000000000000000031183868722222764038 \\ | ||
| + | 3 & 864299970 & -0.000000000000000000000000000000000000000000047762922822945522912 | ||
| + | \end{array} | ||
| + | |||
| + | ==매스매티카 파일 및 계산리소스== | ||
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUGd5SGt0bUJwTEU/edit | ||
| + | |||
| + | [[분류:정수론]] | ||
| + | [[분류:에세이]] | ||
2020년 11월 12일 (목) 01:03 기준 최신판
개요
다항식 \(x^2+x+41\)이 \(x= 0,1,\cdots, 39\)일 때 소수라는 사실은 잘 알려져 있다. (오일러의 소수생성다항식 x²+x+41) 그러나 이것이 끝이 아니며, 여기에 이어지는 다음과 같은 멋진 이야기가 있다. \[ e^{\sqrt{163}\pi}= 262537412640768743.99999999999925007\cdots \] 이 두 가지 사실은 모두 정수환 \(\mathbb{Z}[\frac{-1+\sqrt{-163}}{2}]\)의 성질로부터 얻어지는 것으로 (숫자 163), 많은 아름다운 19세기의 수학과 연관되어 있다. 아래에선 이 사실을 어떻게 이해할 수 있는지에 대하여 설명한다. 이를 이해하면, 다음과 같은 예를 더 찾아낼 수 있다. \[ e^{\sqrt{43}\pi}= 884736743.99977746603\cdots \\ e^{\sqrt{67}\pi}= 147197952743.9999986624\cdots \]
아이디얼은 격자이다
- 수체 \(K\)의 정수환 \(\mathcal{O}_K\)는 유한생성 \(\mathbb{Z}\)-모듈이며, 따라서 격자로 이해할 수 있다
- 아이디얼 = \(\mathcal{O}_K\)의 곱에 의해 닫혀있는 부분격자
- 격자사이의 닮음 관계 <-> 아이디얼에 정의되는 동치관계
- 동치가 아닌 아이디얼류의 개수를 유수라 하며, 유수가 1이면 PID (principal ideal domain)이 된다
- 가령 왜 \(\mathbb{Z}\)가 PID인가? 모든 아이디얼은 기하학적으로 \(\mathbb{Z}\)와 똑같이 생겼다
- 질문 : 유수가 1인 모든 허 이차수체를 찾아라
- 답 \[\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\], \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)
- 가우스의 class number one 문제 항목 참조
예
- \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\)인 경우, \(h_K=3\)
- 판별식이 \(\Delta=-23\)인 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
\[ x^2+xy+6y^2,2 x^2-xy+3y^2,2 x^2+xy+3y^2 \]
- 숫자 23과 다항식 x³-x+1 항목 참조
- 대응되는 아이디얼은
\[ [1,\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{-23}\right)],[2,\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-23}\right)],[2,\frac{1}{2} \left(-1+ \sqrt{-23}\right)] \]
타원곡선과 격자
- \(\mathbb{C}\) 위의 타원곡선은 어떤 격자 \(\Lambda\)에 대하여 \(\mathbb{C}/\Lambda\)의 꼴로 주어진다
- \(E:y^2=4x^3-g_2x-g_3\), \(g_2^3-27g_3^2\neq 0\)에서 \(\mathbb{C}/\Lambda\)을 얻으려면 아벨-야코비 정리
- \(\Lambda\)에서 \(E\)을 얻으려면 바이어슈트라스 타원함수 ℘을 사용
\[ \wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Lambda,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right) \]
- 다음을 만족한다
\[\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\] 여기서 \[ g_2= 60\sum_{\omega \in \Lambda, \omega\neq 0} \omega^{-4}\\ g_3=140\sum_{\omega \in \Lambda, \omega\neq 0} \omega^{-6} \]
복소곱(complex multiplication)
- \(E:y^2=4x^3-g_2x-g_3\) (\(g_2^3-27g_3^2\neq 0\)을 만족), \(O_{E}=(\infty^2,\infty^3)\)
- \(\phi : E_1\to E_2\)
\[ \phi(x,y)=(\frac{\text{poly in }x,y}{\text{poly in }x,y},\frac{\text{poly in }x,y}{\text{poly in }x,y}),\quad \phi(O_{E_1})=O_{E_2} \] 를 isogeny라 함
- 격자들 사이의 관점에서 보면
\[\operatorname{Hom}(\mathbb{C}/\Lambda_1,\mathbb{C}/\Lambda_2)=\{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha \Lambda_1 \subseteq \Lambda_2\}\]
- \(\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau\), \(\Im\tau >0\)라 하자.
- 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)
- \(\operatorname{End}({E})=\{\alpha\in \mathbb{C} | \alpha \Lambda \subseteq \Lambda\}\)
- \(\alpha\in\mathbb{Z}\)에 대하여, \(\alpha\tau \in\Lambda\)이고 따라서 \(\mathbb{Z}\subset \operatorname{End}({E})\)
- 대부분의 경우, \(\operatorname{End}({E})=\mathbb{Z}\)
- 만약 \(\operatorname{End}({E})\neq \mathbb{Z}\)이면, 즉 \(\mathbb{Z}\subsetneq \operatorname{End}({E})\), \(E\)가 복소곱을 갖는다고 한다
- \(E\)가 복소곱을 갖는다고 하자.
- 그러면 \(\alpha\in\operatorname{End}({E})\backslash\mathbb{Z}\)가 존재해야 한다.
- \(\alpha\cdot 1 \in\Lambda\)이므로 적당한 정수 \(m, n\)에 대하여, \(\alpha=m+n\tau,\quad n \neq 0 \)
- \(\alpha\cdot \tau \in\Lambda\)이므로 적당한 정수 \(p, q\)에 대하여, \(\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau\)
- 그러므로
\[n\tau^2+(m-q)\tau-p=0,\quad n \neq 0\]
- 따라서, \(E\)가 복소곱을 가지면, \(\tau\)는 정수계수를 갖는 이차방정식을 만족해야 한다. 따라서 \(\tau\)는 허의 이차수 (imaginary quadratic)가 되어야 한다
\(\operatorname{End}(E)\)의 이해
- 질문 : 허의 이차수 \(\tau\)에 대하여, \(\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau\), \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)라 할 때, \(\operatorname{End}(E)\)은 무엇인가?
- 명제
허의 이차수 \(\tau\)의 최소다항식 \(A\tau^2+B\tau+C=0\)가 \(A\neq 0,B,C\in \mathbb{Z}\)와 \(\gcd(A,B,C)=1\)를 만족한다고 하자. 이 때, 다음이 성립한다 \[ \operatorname{End}(E)=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau \]
- 증명
다음을 쉽게 확인할 수 있다. \[(A\tau)\cdot \tau=-B\tau-C\] 따라서 \( \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau \subseteq \operatorname{End}(E)\)
관계 \(\operatorname{End}(E)\subseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau\)를 보이려 한다. \(z=a+b\tau\in \operatorname{End}(E)\backslash\mathbb{Z}\)이면, \(z\cdot 1=a+b\tau\in \Lambda\)이므로 \(a,b\in \mathbb{Z}\)이고 \(b\neq 0\). 따라서 \(z'=b\tau \in \operatorname{End}(E)\)이다. 이 때, 적당한 \(c,d\in \mathbb{Z}\)에 대하여 \(z'\cdot \tau=c+d\tau\)이 성립하고 따라서 \[b\tau^2-d\tau-c=0.\] 최소다항식에 대한 주어진 가정으로부터, \(b\)는 \(A\)의 배수가 되어야 함을 알 수 있다. ■
- \((A\tau)^2+B(A\tau)+AC=0\)라는 사실은 \(A\tau\)가 대수적 정수임을 보여준다
- 환 \(\operatorname{End}(E)\)는 허 이차수체의 order이다
주어진 자기준동형사상 환(endomorphism ring)을 갖는 타원곡선
- 허 이차수체 \(K\)와 \(\mathcal{O}_K\)를 고정하자. 적당한 \(\tau\in \mathcal{O}_K\)에 대하여 \(K=\mathbb{Q}(\tau)\)꼴로 쓸 수 있다.
- \(\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K\)를 만족하는 모든 격자 \(\Lambda\)를 찾으려 한다.
- 정리
\(\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K\)과 \(\Lambda\)가 \(\mathcal{O}_K\)의 아이디얼과 닮음이라는 사실은 서로 동치이다.
- 증명
(=>) \(\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\eta\), \(\tau\in \operatorname{End}(E_{\Lambda})\backslash\mathbb{Z}\)라 하자. \(\tau\cdot 1\in \Lambda\)이므로 \(\tau=a+b\eta\), \(b\neq 0\). 따라서 \(b\eta =\tau-a\).
그러므로 \(\Lambda\)는 \(b\Lambda=b\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(b\eta)=b\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(\tau-a)\)와 닮음이다. 이제 \(a\in \mathcal{O}_{K}\)에 대하여, \(a\Lambda \subseteq \Lambda\)라는 사실로부터 \(\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K\). 따라서 \(\Lambda\)는 \(\mathcal{O}_K\)의 아이디얼과 닮음이다
(<=) 역으로, \(\Lambda=[\omega_1,\omega_2],\quad \omega_1,\omega_2\in \mathcal{O}_K\)가 \(\mathcal{O}_K\)의 아이디얼인 경우, \(\operatorname{End}(E_{\Lambda})\supseteq \mathcal{O}_K\). 이 때, \(\omega_2/\omega_1\in K\)이므로, 만약 \(\alpha\in \operatorname{End}(E_{\Lambda})=\operatorname{End}(E_{\omega_2/\omega_1})\)이면, \(\alpha \in K\)이고, 이는 대수적 정수가 되어야 한다. 따라서 \(\operatorname{End}(E_{\Lambda})= \mathcal{O}_K\). ■
\(j\)-불변량
- \(E:y^2=4x^3-g_2x-g_3\)
- \(E\)의 j-불변량은 다음과 같이 정의된다
\[ j(E)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2} \]
- 타원곡선과 격자 사이의 대응관계를 이용하면, 이는 다시 다음과 같이 주어지는 함수 \(j:\mathbb{H}\to \mathbb{C}\)로 이해할 수 있다
\[ \begin{align} j(\tau)&= {(1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n)^3\over q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}}\\ &=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots \\ &=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n \\ \end{align} \] 여기서 \(q=e^{2\pi i\tau}\)이고, \(\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3\)
- circle method에 의해 다음을 얻을 수 있다 (\(j(\tau)\)의 모듈라 성질이 여기에 중요한 역할을 한다)
\[ c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}} \]
테이블
\begin{array}{c|c} n & c(n) \\ \hline -1 & 1 \\ 0 & 744 \\ 1 & 196884 \\ 2 & 21493760 \\ 3 & 864299970 \\ 4 & 20245856256 \\ 5 & 333202640600 \\ 6 & 4252023300096 \\ 7 & 44656994071935 \\ 8 & 401490886656000 \\ 9 & 3176440229784420 \\ 10 & 22567393309593600 \end{array}
\(E\)와 \(j(E)\)에 대한 갈루아 작용
- \(E:y^2=4x^3-g_2x-g_3\)
- \(\sigma\in \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})\)에 대하여, \(E^{\sigma} :y^2=4x^3-\sigma(g_2)x-\sigma(g_3)\)라 정의하자.
- 그러면 isogeny가 유리함수라는 사실로부터 \(\operatorname{End}(E)=\operatorname{End}(E^{\sigma})\)를 알 수 있다.
- \(K\)가 허 이차수체라 하자.
- \(\operatorname{End}(E)\cong \mathcal{O}_K\)를 만족하는 타원곡선의 동형류는 유한개, 즉 \(E_1,\cdots, E_{h_{K}}\)로 주어진다. 여기서 \(h_K\)는 수체 \(K\)의 유수
- \(\operatorname{End}(E)\cong \mathcal{O}_K\)을 만족하는 타원곡선 \(E\)에 대하여, \(j(E)^{\sigma}=j(E^{\sigma})\)이므로 \(\{j(E)^{\sigma}|\sigma\in \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})\}\)는 유한집합이 된다.
- 이는 \(j(E)\)가 차수가 \(h_{K}\) 이하인 대수적수임을 보여준다
- 사실은 더 많은 것이 알려져 있다.
- 정리
타원곡선 \(E\)가 복소곱을 갖는 경우, \(j(E)\)는 차수가 \(h_K\)인 대수적 정수이다. 특별히 \(h_K=1\)인 경우, \(j(E)\in \mathbb{Z}\)이다.
- 증명
Silverman의 Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves를 참조. ■
예
- \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\), \(h_K=3\)
\[ j\left(\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{-23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+\sqrt{-23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+ \sqrt{-23}\right)\right)\]
- 이들은 다음 다항식의 근이다
\[ x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375 \]
테이블
\begin{array}{c|c|c|c} \tau & j(\tau) & \sqrt[3]{j(\tau )} & \text{factorization} \\ \hline i & 1728 & 12 & 2^6\cdot 3^3 \\ i \sqrt{2} & 8000 & 20 & 2^6\cdot 5^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right) & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{7}\right) & -3375 & -15 & -3^3 5^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{11}\right) & -32768 & -32 & -2^{15} \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{19}\right) & -884736 & -96 & -2^{15} 3^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{43}\right) & -884736000 & -960 & -2^{18} 3^3 5^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{67}\right) & -147197952000 & -5280 & -2^{15} 3^3 5^3 11^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{163}\right) & -262537412640768000 & -640320 & -2^{18} 3^3 5^3 23^3 29^3 \end{array}
거의 정수
- 따라서 \(j(\frac{-1+\sqrt{-163}}{2})\in \mathbb{Z}\). 실제로 다음과 같은 값을 얻을 수 있다.
\[j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\]
- 이에 대해서는 타원 모듈라 j-함수의 singular moduli항목을 참조
- \(q^n=e^{\pi i (-1+\sqrt{163}i)n}=(-1)^n (e^{-\sqrt{163}\pi})^n\)
- 그러므로
\[ \begin{align} j(\frac{-1+\sqrt{-163}}{2})&=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n)(-1)^n (e^{-\sqrt{163}\pi})^n \\ &=-e^{\sqrt{163}\pi}+744-196884 e^{-\sqrt{163}\pi}+21493760 (e^{-\sqrt{163}\pi})^2+\cdots \\ &=-262537412640768000 \end{align} \]
- 다음과 같은 근사식이 성립하고 따라서 \(c(n)q^n\)는 0으로 빠르게 수렴한다
\[ c(n)q^n\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}(e^{-\sqrt{163}\pi})^n \]
- 따라서
\[ e^{\sqrt{163}\pi}= 262537412640768000+744+\text{very small number}=262537412640768743.99999999999925007\cdots \]
테이블
\begin{array}{ccc} n & c(n) & c(n)q^n \\ \hline -1 & 1 & -e^{\sqrt{163}\pi} \\ 0 & 744 & 744 \\ 1 & 196884 & -0.00000000000074992740280181462296 \\ 2 & 21493760 & 0.00000000000000000000000000031183868722222764038 \\ 3 & 864299970 & -0.000000000000000000000000000000000000000000047762922822945522912 \end{array}