복소곱을 갖는 타원곡선과 singular moduli 강의노트

수학노트
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개요

다항식 \(x^2+x+41\)이 \(x= 0,1,\cdots, 39\)일 때 소수라는 사실은 잘 알려져 있다. (오일러의 소수생성다항식 x²+x+41) 그러나 이것이 끝이 아니며, 여기에 이어지는 다음과 같은 멋진 이야기가 있다. \[ e^{\sqrt{163}\pi}= 262537412640768743.99999999999925007\cdots \] 이 두 가지 사실은 모두 정수환 \(\mathbb{Z}[\frac{-1+\sqrt{-163}}{2}]\)의 성질로부터 얻어지는 것으로 (숫자 163), 많은 아름다운 19세기의 수학과 연관되어 있다. 아래에선 이 사실을 어떻게 이해할 수 있는지에 대하여 설명한다. 이를 이해하면, 다음과 같은 예를 더 찾아낼 수 있다. \[ e^{\sqrt{43}\pi}= 884736743.99977746603\cdots \\ e^{\sqrt{67}\pi}= 147197952743.9999986624\cdots \]

아이디얼은 격자이다

  • 수체 \(K\)의 정수환 \(\mathcal{O}_K\)는 유한생성 \(\mathbb{Z}\)-모듈이며, 따라서 격자로 이해할 수 있다
  • 아이디얼 = \(\mathcal{O}_K\)의 곱에 의해 닫혀있는 부분격자
  • 격자사이의 닮음 관계 <-> 아이디얼에 정의되는 동치관계
  • 동치가 아닌 아이디얼류의 개수를 유수라 하며, 유수가 1이면 PID (principal ideal domain)이 된다
  • 가령 왜 \(\mathbb{Z}\)가 PID인가? 모든 아이디얼은 기하학적으로 \(\mathbb{Z}\)와 똑같이 생겼다
  • 질문 : 유수가 1인 모든 허 이차수체를 찾아라
  • 답 \[\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\], \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)
  • 가우스의 class number one 문제 항목 참조

예

\[ x^2+xy+6y^2,2 x^2-xy+3y^2,2 x^2+xy+3y^2 \]

\[ [1,\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{-23}\right)],[2,\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-23}\right)],[2,\frac{1}{2} \left(-1+ \sqrt{-23}\right)] \]

타원곡선과 격자

  • \(\mathbb{C}\) 위의 타원곡선은 어떤 격자 \(\Lambda\)에 대하여 \(\mathbb{C}/\Lambda\)의 꼴로 주어진다
  • \(E:y^2=4x^3-g_2x-g_3\), \(g_2^3-27g_3^2\neq 0\)에서 \(\mathbb{C}/\Lambda\)을 얻으려면 아벨-야코비 정리
  • \(\Lambda\)에서 \(E\)을 얻으려면 바이어슈트라스 타원함수 ℘을 사용

\[ \wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Lambda,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right) \]

  • 다음을 만족한다

\[\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\] 여기서 \[ g_2= 60\sum_{\omega \in \Lambda, \omega\neq 0} \omega^{-4}\\ g_3=140\sum_{\omega \in \Lambda, \omega\neq 0} \omega^{-6} \]

복소곱(complex multiplication)

  • \(E:y^2=4x^3-g_2x-g_3\) (\(g_2^3-27g_3^2\neq 0\)을 만족), \(O_{E}=(\infty^2,\infty^3)\)
  • \(\phi : E_1\to E_2\)

\[ \phi(x,y)=(\frac{\text{poly in }x,y}{\text{poly in }x,y},\frac{\text{poly in }x,y}{\text{poly in }x,y}),\quad \phi(O_{E_1})=O_{E_2} \] 를 isogeny라 함

  • 격자들 사이의 관점에서 보면

\[\operatorname{Hom}(\mathbb{C}/\Lambda_1,\mathbb{C}/\Lambda_2)=\{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha \Lambda_1 \subseteq \Lambda_2\}\]

  • \(\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau\), \(\Im\tau >0\)라 하자.
  • 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)
  • \(\operatorname{End}({E})=\{\alpha\in \mathbb{C} | \alpha \Lambda \subseteq \Lambda\}\)
  • \(\alpha\in\mathbb{Z}\)에 대하여, \(\alpha\tau \in\Lambda\)이고 따라서 \(\mathbb{Z}\subset \operatorname{End}({E})\)
  • 대부분의 경우, \(\operatorname{End}({E})=\mathbb{Z}\)
  • 만약 \(\operatorname{End}({E})\neq \mathbb{Z}\)이면, 즉 \(\mathbb{Z}\subsetneq \operatorname{End}({E})\), \(E\)가 복소곱을 갖는다고 한다
  • \(E\)가 복소곱을 갖는다고 하자.
  • 그러면 \(\alpha\in\operatorname{End}({E})\backslash\mathbb{Z}\)가 존재해야 한다.
  • \(\alpha\cdot 1 \in\Lambda\)이므로 적당한 정수 \(m, n\)에 대하여, \(\alpha=m+n\tau,\quad n \neq 0 \)
  • \(\alpha\cdot \tau \in\Lambda\)이므로 적당한 정수 \(p, q\)에 대하여, \(\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau\)
  • 그러므로

\[n\tau^2+(m-q)\tau-p=0,\quad n \neq 0\]

  • 따라서, \(E\)가 복소곱을 가지면, \(\tau\)는 정수계수를 갖는 이차방정식을 만족해야 한다. 따라서 \(\tau\)는 허의 이차수 (imaginary quadratic)가 되어야 한다

\(\operatorname{End}(E)\)의 이해

  • 질문 : 허의 이차수 \(\tau\)에 대하여, \(\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau\), \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)라 할 때, \(\operatorname{End}(E)\)은 무엇인가?
명제

허의 이차수 \(\tau\)의 최소다항식 \(A\tau^2+B\tau+C=0\)가 \(A\neq 0,B,C\in \mathbb{Z}\)와 \(\gcd(A,B,C)=1\)를 만족한다고 하자. 이 때, 다음이 성립한다 \[ \operatorname{End}(E)=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau \]

증명

다음을 쉽게 확인할 수 있다. \[(A\tau)\cdot \tau=-B\tau-C\] 따라서 \( \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau \subseteq \operatorname{End}(E)\)

관계 \(\operatorname{End}(E)\subseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau\)를 보이려 한다. \(z=a+b\tau\in \operatorname{End}(E)\backslash\mathbb{Z}\)이면, \(z\cdot 1=a+b\tau\in \Lambda\)이므로 \(a,b\in \mathbb{Z}\)이고 \(b\neq 0\). 따라서 \(z'=b\tau \in \operatorname{End}(E)\)이다. 이 때, 적당한 \(c,d\in \mathbb{Z}\)에 대하여 \(z'\cdot \tau=c+d\tau\)이 성립하고 따라서 \[b\tau^2-d\tau-c=0.\] 최소다항식에 대한 주어진 가정으로부터, \(b\)는 \(A\)의 배수가 되어야 함을 알 수 있다. ■

  • \((A\tau)^2+B(A\tau)+AC=0\)라는 사실은 \(A\tau\)가 대수적 정수임을 보여준다
  • 환 \(\operatorname{End}(E)\)는 허 이차수체의 order이다

주어진 자기준동형사상 환(endomorphism ring)을 갖는 타원곡선

  • 허 이차수체 \(K\)와 \(\mathcal{O}_K\)를 고정하자. 적당한 \(\tau\in \mathcal{O}_K\)에 대하여 \(K=\mathbb{Q}(\tau)\)꼴로 쓸 수 있다.
  • \(\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K\)를 만족하는 모든 격자 \(\Lambda\)를 찾으려 한다.
정리

\(\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K\)과 \(\Lambda\)가 \(\mathcal{O}_K\)의 아이디얼과 닮음이라는 사실은 서로 동치이다.

증명

(=>) \(\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\eta\), \(\tau\in \operatorname{End}(E_{\Lambda})\backslash\mathbb{Z}\)라 하자. \(\tau\cdot 1\in \Lambda\)이므로 \(\tau=a+b\eta\), \(b\neq 0\). 따라서 \(b\eta =\tau-a\).

그러므로 \(\Lambda\)는 \(b\Lambda=b\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(b\eta)=b\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(\tau-a)\)와 닮음이다. 이제 \(a\in \mathcal{O}_{K}\)에 대하여, \(a\Lambda \subseteq \Lambda\)라는 사실로부터 \(\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K\). 따라서 \(\Lambda\)는 \(\mathcal{O}_K\)의 아이디얼과 닮음이다

(<=) 역으로, \(\Lambda=[\omega_1,\omega_2],\quad \omega_1,\omega_2\in \mathcal{O}_K\)가 \(\mathcal{O}_K\)의 아이디얼인 경우, \(\operatorname{End}(E_{\Lambda})\supseteq \mathcal{O}_K\). 이 때, \(\omega_2/\omega_1\in K\)이므로, 만약 \(\alpha\in \operatorname{End}(E_{\Lambda})=\operatorname{End}(E_{\omega_2/\omega_1})\)이면, \(\alpha \in K\)이고, 이는 대수적 정수가 되어야 한다. 따라서 \(\operatorname{End}(E_{\Lambda})= \mathcal{O}_K\). ■

\(j\)-불변량

  • \(E:y^2=4x^3-g_2x-g_3\)
  • \(E\)의 j-불변량은 다음과 같이 정의된다

\[ j(E)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2} \]

  • 타원곡선과 격자 사이의 대응관계를 이용하면, 이는 다시 다음과 같이 주어지는 함수 \(j:\mathbb{H}\to \mathbb{C}\)로 이해할 수 있다

\[ \begin{align} j(\tau)&= {(1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n)^3\over q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}}\\ &=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots \\ &=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n \\ \end{align} \] 여기서 \(q=e^{2\pi i\tau}\)이고, \(\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3\)

  • circle method에 의해 다음을 얻을 수 있다 (\(j(\tau)\)의 모듈라 성질이 여기에 중요한 역할을 한다)

\[ c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}} \]

테이블

\begin{array}{c|c} n & c(n) \\ \hline -1 & 1 \\ 0 & 744 \\ 1 & 196884 \\ 2 & 21493760 \\ 3 & 864299970 \\ 4 & 20245856256 \\ 5 & 333202640600 \\ 6 & 4252023300096 \\ 7 & 44656994071935 \\ 8 & 401490886656000 \\ 9 & 3176440229784420 \\ 10 & 22567393309593600 \end{array}

\(E\)와 \(j(E)\)에 대한 갈루아 작용

  • \(E:y^2=4x^3-g_2x-g_3\)
  • \(\sigma\in \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})\)에 대하여, \(E^{\sigma} :y^2=4x^3-\sigma(g_2)x-\sigma(g_3)\)라 정의하자.
  • 그러면 isogeny가 유리함수라는 사실로부터 \(\operatorname{End}(E)=\operatorname{End}(E^{\sigma})\)를 알 수 있다.
  • \(K\)가 허 이차수체라 하자.
  • \(\operatorname{End}(E)\cong \mathcal{O}_K\)를 만족하는 타원곡선의 동형류는 유한개, 즉 \(E_1,\cdots, E_{h_{K}}\)로 주어진다. 여기서 \(h_K\)는 수체 \(K\)의 유수
  • \(\operatorname{End}(E)\cong \mathcal{O}_K\)을 만족하는 타원곡선 \(E\)에 대하여, \(j(E)^{\sigma}=j(E^{\sigma})\)이므로 \(\{j(E)^{\sigma}|\sigma\in \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})\}\)는 유한집합이 된다.
  • 이는 \(j(E)\)가 차수가 \(h_{K}\) 이하인 대수적수임을 보여준다
  • 사실은 더 많은 것이 알려져 있다.
정리

타원곡선 \(E\)가 복소곱을 갖는 경우, \(j(E)\)는 차수가 \(h_K\)인 대수적 정수이다. 특별히 \(h_K=1\)인 경우, \(j(E)\in \mathbb{Z}\)이다.

증명

Silverman의 Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves를 참조. ■


예

  • \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\), \(h_K=3\)

\[ j\left(\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{-23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+\sqrt{-23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+ \sqrt{-23}\right)\right)\]

  • 이들은 다음 다항식의 근이다

\[ x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375 \]

테이블

\begin{array}{c|c|c|c} \tau & j(\tau) & \sqrt[3]{j(\tau )} & \text{factorization} \\ \hline i & 1728 & 12 & 2^6\cdot 3^3 \\ i \sqrt{2} & 8000 & 20 & 2^6\cdot 5^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right) & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{7}\right) & -3375 & -15 & -3^3 5^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{11}\right) & -32768 & -32 & -2^{15} \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{19}\right) & -884736 & -96 & -2^{15} 3^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{43}\right) & -884736000 & -960 & -2^{18} 3^3 5^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{67}\right) & -147197952000 & -5280 & -2^{15} 3^3 5^3 11^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{163}\right) & -262537412640768000 & -640320 & -2^{18} 3^3 5^3 23^3 29^3 \end{array}

거의 정수

  • 따라서 \(j(\frac{-1+\sqrt{-163}}{2})\in \mathbb{Z}\). 실제로 다음과 같은 값을 얻을 수 있다.

\[j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\]

\[ \begin{align} j(\frac{-1+\sqrt{-163}}{2})&=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n)(-1)^n (e^{-\sqrt{163}\pi})^n \\ &=-e^{\sqrt{163}\pi}+744-196884 e^{-\sqrt{163}\pi}+21493760 (e^{-\sqrt{163}\pi})^2+\cdots \\ &=-262537412640768000 \end{align} \]

  • 다음과 같은 근사식이 성립하고 따라서 \(c(n)q^n\)는 0으로 빠르게 수렴한다

\[ c(n)q^n\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}(e^{-\sqrt{163}\pi})^n \]

  • 따라서

\[ e^{\sqrt{163}\pi}= 262537412640768000+744+\text{very small number}=262537412640768743.99999999999925007\cdots \]

테이블

\begin{array}{ccc} n & c(n) & c(n)q^n \\ \hline -1 & 1 & -e^{\sqrt{163}\pi} \\ 0 & 744 & 744 \\ 1 & 196884 & -0.00000000000074992740280181462296 \\ 2 & 21493760 & 0.00000000000000000000000000031183868722222764038 \\ 3 & 864299970 & -0.000000000000000000000000000000000000000000047762922822945522912 \end{array}

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