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==개요==
  
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* 입자물리의 언어
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* 국소적인(local) 게이지 불변성으로부터 게이지 보존(힘을 매개하는 입자)의 등장과 입자 사이의 상호작용을 설명
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* 미분기하의 principal bundle과 접속(connection)의 언어를 사용하여 기술할 수 있음
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==국소 게이지 불변성과 양자전기역학==
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===맥스웰 방정식의 게이지 불변성===
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* 상호작용이 없는 전자기장의 라그랑지안은 다음과 같다
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:<math>\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}</math>
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이 때 <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>는 전자기텐서, <math>A=(A_{\mu})</math>는 전자기 포텐셜
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* 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다
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:<math>A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\alpha(x)</math>
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여기서 <math>\alpha(x)</math>는 임의의 스칼라장
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* [[맥스웰 방정식의 게이지 불변성]] 항목 참조
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===QED 라그랑지안과 국소 게이지 불변성===
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* <math>\psi</math> 는 디랙 field (전자를 나타내는 장)
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* [[디랙 방정식]]<math>(-i\gamma^\mu\partial_\mu + m) \psi = 0</math>
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*  상호작용이 없는 라그랑지안
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:<math>\mathcal{L}_{\text{free}} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi  -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}</math> 로 시작하자. 여기서 <math>\bar{\psi}=  \psi^{\dagger} \gamma^0 </math> Dirac adjoint, <math>\gamma^{\mu}</math>는 [[디랙 행렬]]
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*  라그랑지안이 <math>U(1)</math> - 국소 게이지 불변, 즉
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:<math>\psi(x) \to  e^{i\alpha(x)}\psi(x)</math> 에 의해 불변이 되도록 하려한다
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*  라그랑지안에 적당한 항을 더하면, 게이지 불변성을 얻게 된다
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:<math>\mathcal{L}_{\text{int}}=\mathcal{L}_{\text{free}}+q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi =i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi -  q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}</math>
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* 이를 다음과 같이 쓰기도 한다
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:<math>\mathcal{L}_{\text{int}}=i \bar{\psi} \gamma^\mu D_\mu \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}</math>
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여기서 <math>D_\mu=\partial_\mu  +  i q A_{\mu}</math>. 이는 [[공변미분(covariant derivative)]]에 해당하며, 게이지장이 [[접속 (connection)]] 형식에 해당함을 보여준다
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* 이 때 게이지장(전자기장)의 게이지 변환은 다음과 같이 주어진다
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:<math>A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\alpha(x)</math>
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* 라그랑지안에 새로 도입된 <math>q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi</math> 항은 전자와 광자의 상호작용을 기술한다
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* http://physics.stackexchange.com/questions/50084/geometrical-significance-of-gauge-invariance-of-the-qed-lagrangian
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==양-밀스 이론==
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* 리대수 <math>\mathfrak{g}</math>의 생성원과 구조상수
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\ [T_a,T_b]=f_{ab}^{c}T_c
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* 게이지 포텐셜 <math>\mathfrak{g}</math>-valued 1-form
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A=A_{\mu}^{a}dx^{\mu}T_{a}
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* field strength 텐서 <math>\mathfrak{g}</math>-valued 2-form
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F=\frac{1}{2}F^{a}_{\mu \nu}dx^{\mu}\wedge dx^{\nu} T_a
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F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a-i g f_{bc}^{a}A_\mu^bA_\nu^c
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Structure_constants
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_theory
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==역사==
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* 192? 헤르만 바일
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* 1954 양-밀스
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* 1964 힉스
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* 1967 Steven Weinberg, Abdus Salam and John Ward proposed a local gauge theory, SU(2) x U(1), for a unified description of electromagnetic and weak interactions, with a Higgs mechanism to give mass to the (weak) field quanta. http://cerncourier.com/cws/article/cern/28849
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* 1971 토프트 renomalization of electroweak theory
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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"…That non-Abelian gauge fields are conceptually identical to ideas in the beautiful theory of fiber bundles, developed by the mathematicians without reference to the physical world, was a great marvel to me. In 1975 I discussed my feelings with Chern, and said, this is both thrilling and puzzling, since you mathematicians dreamed up these concepts out of nowhere." He immediately protested: "No, no. These concepts were not dreamed up. They were natural and real."
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C. N. Yang; "magnetic monopoles, fiber bundles, and gauge fields’ Selected Papers C.N. Yang.
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* http://bomber0.byus.net/index.php/2009/06/24/1336
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* Yang-Mills theory
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* QED
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*  electroweak theory
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** weak interaction - SU(2) symmetry, doublets of leptons and quarks
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* QCD SU(3) color symmetry
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* standard model
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* http://physics.stackexchange.com/questions/49963/su3-gauge-invariance-in-qcd
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* [http://www.ulb.ac.be/sciences/ptm/pmif/Rencontres/ModaveI/Laurent2.pdf A Survey of Gauge Theory and Yang-Mills Equation]
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==관련된 항목들==
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* [[접속 (connection)]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUkxSNFNZdzJZSEU/edit
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* [[켤레복소수]]
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==수학용어번역==
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* {{학술용어집|url=gauge}}
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Yang–Mills_theory
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* http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_invariance
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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* Hamilton, M. J. D. “The Higgs Boson for Mathematicians. Lecture Notes on Gauge Theory and Symmetry Breaking.” arXiv:1512.02632 [hep-Th], December 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.02632.
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* Weatherall, James Owen. ‘Understanding Gauge’. arXiv:1505.02229 [physics], 9 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.02229.
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* Jordan, François, Lazzarini Serge, and Masson Thierry. 2014. “Gauge Field Theories: Various Mathematical Approaches.” arXiv:1404.4604 [hep-Th, Physics:math-Ph], April. http://arxiv.org/abs/1404.4604.
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* Samuel Marateck, The Differential Geometry and Physical Basis for the Applications of Feynman Diagrams http://arxiv.org/abs/physics/0603016
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[[분류:리군과 리대수]]
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[[분류:수리물리학]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7625098 Q7625098]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'structure'}, {'LEMMA': 'constant'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:58 기준 최신판

개요

  • 입자물리의 언어
  • 국소적인(local) 게이지 불변성으로부터 게이지 보존(힘을 매개하는 입자)의 등장과 입자 사이의 상호작용을 설명
  • 미분기하의 principal bundle과 접속(connection)의 언어를 사용하여 기술할 수 있음



국소 게이지 불변성과 양자전기역학

맥스웰 방정식의 게이지 불변성

  • 상호작용이 없는 전자기장의 라그랑지안은 다음과 같다

\[\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\] 이 때 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)는 전자기텐서, \(A=(A_{\mu})\)는 전자기 포텐셜

  • 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\alpha(x)\] 여기서 \(\alpha(x)\)는 임의의 스칼라장


QED 라그랑지안과 국소 게이지 불변성

  • \(\psi\) 는 디랙 field (전자를 나타내는 장)
  • 디랙 방정식\((-i\gamma^\mu\partial_\mu + m) \psi = 0\)
  • 상호작용이 없는 라그랑지안

\[\mathcal{L}_{\text{free}} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}\] 로 시작하자. 여기서 \(\bar{\psi}= \psi^{\dagger} \gamma^0 \) Dirac adjoint, \(\gamma^{\mu}\)는 디랙 행렬

  • 라그랑지안이 \(U(1)\) - 국소 게이지 불변, 즉

\[\psi(x) \to e^{i\alpha(x)}\psi(x)\] 에 의해 불변이 되도록 하려한다

  • 라그랑지안에 적당한 항을 더하면, 게이지 불변성을 얻게 된다

\[\mathcal{L}_{\text{int}}=\mathcal{L}_{\text{free}}+q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi =i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}\]

  • 이를 다음과 같이 쓰기도 한다

\[\mathcal{L}_{\text{int}}=i \bar{\psi} \gamma^\mu D_\mu \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}\] 여기서 \(D_\mu=\partial_\mu + i q A_{\mu}\). 이는 공변미분(covariant derivative)에 해당하며, 게이지장이 접속 (connection) 형식에 해당함을 보여준다

  • 이 때 게이지장(전자기장)의 게이지 변환은 다음과 같이 주어진다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\alpha(x)\]


양-밀스 이론

  • 리대수 \(\mathfrak{g}\)의 생성원과 구조상수

\[ \ [T_a,T_b]=f_{ab}^{c}T_c \]

  • 게이지 포텐셜 \(\mathfrak{g}\)-valued 1-form

\[ A=A_{\mu}^{a}dx^{\mu}T_{a} \]

  • field strength 텐서 \(\mathfrak{g}\)-valued 2-form

\[ F=\frac{1}{2}F^{a}_{\mu \nu}dx^{\mu}\wedge dx^{\nu} T_a \] \[ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a-i g f_{bc}^{a}A_\mu^bA_\nu^c \]



역사



메모

"…That non-Abelian gauge fields are conceptually identical to ideas in the beautiful theory of fiber bundles, developed by the mathematicians without reference to the physical world, was a great marvel to me. In 1975 I discussed my feelings with Chern, and said, this is both thrilling and puzzling, since you mathematicians dreamed up these concepts out of nowhere." He immediately protested: "No, no. These concepts were not dreamed up. They were natural and real."

C. N. Yang; "magnetic monopoles, fiber bundles, and gauge fields’ Selected Papers C.N. Yang.


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • gauge - 대한수학회 수학용어집



사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트

  • Hamilton, M. J. D. “The Higgs Boson for Mathematicians. Lecture Notes on Gauge Theory and Symmetry Breaking.” arXiv:1512.02632 [hep-Th], December 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.02632.
  • Weatherall, James Owen. ‘Understanding Gauge’. arXiv:1505.02229 [physics], 9 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.02229.
  • Jordan, François, Lazzarini Serge, and Masson Thierry. 2014. “Gauge Field Theories: Various Mathematical Approaches.” arXiv:1404.4604 [hep-Th, Physics:math-Ph], April. http://arxiv.org/abs/1404.4604.
  • Samuel Marateck, The Differential Geometry and Physical Basis for the Applications of Feynman Diagrams http://arxiv.org/abs/physics/0603016

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'structure'}, {'LEMMA': 'constant'}]
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