삼각함수에는 왜 공식이 많은가?

개요

• 사인과 코사인은 단위원을 매개화하는 함수
  
  • \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)
• 단위원은 군의 구조를 가짐. (군론(group theory))
  
  • \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)
• 삼각함수의 많은 공식들은 이 단위원이 가진 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
• 회전변환이 가진 군의 구조로 이해할 수도 있음
• 비슷한 예로 타원함수 또는 자코비 세타함수의 많은 공식들은 타원곡선이 가지는 군의 구조를 이용하여 이해할 수 있음

삼각함수 챕터는 외울 것이 많기로 악명이 높다. '얼싸탄코' 부터 시작하여 '신프신은 두신코, 신마신은 두코신, 코프코는 두코코, 코마코는 마두신신, 신코는 반신프신, 코신은 반신마신, 코코는 반코프코, 신신은 마반코마코' 와 같은 삼각함수와 관련된 공식의 암기를 돕기 위한 말들이 참고서에까지 소개되곤 한다. 미국에서도 사인, 코사인, 탄젠트의 정의를 외우기 위해 SOHCAHTOA(소-카-토아)라는 말을 사용한다. 수학 교과서에서 페이지 당 공식의 밀도를 따져본다면, 아마 삼각함수가 가장 높은 자리를 차지하고 있을 것이다. 삼각함수에는 왜 이렇게 공식이 많을까?

삼각함수의 이론에 공식이 많은 이유는 딱 떨어지는 답을 하기는 어렵지만 핵심적인 하나의 단어는 '대칭성' 이라는 것이다.

덧셈공식

• 삼각함수 항목 참조

\[\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \] \[\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\]

복소지수함수

• 삼각함수의 덧셈공식은 복소지수함수 \(f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x\)의 성질 \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)과 같다
  \(e^{i\theta}e^{i\phi}=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=(\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi)+i(\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi )\)
  \(e^{i(\theta+\phi)}=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)\)
  여기서 양변의 실수부와 허수부를 비교하면, 삼각함수의 덧셈공식을 얻는다
  
• 복소지수함수의 성질 \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\) 은 단위원에 군의 구조를 준다
• 오일러의 공식 항목 참조

회전변환을 통한 이해

• 2차원 회전 변환 에서 가져옴
• 평면에서 원점을 중심으로 각도 \(\theta \) 만큼의 회전변환은 다음 행렬로 표현된다
  \(\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\)
  
• \(\theta_1\)과 \(\theta_2\) 만큼 회전시키는 두 회전변환을 합성하면, \(\theta_1+\theta_2\) 만큼 회전시키는 또다른 회전변환을 하나 얻게 되는데, 이로부터 덧셈공식을 얻을 수 있다
  \(\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}\)
  
• 회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다
• 단위원과 평면의 회전변환 군은 군론의 입장에서 같다

타원함수의 경우

• 바이어슈트라스의 타원함수 는 타원곡선 을 매개화하며, 다양한 성질을 가진다

관련된 항목들

• 고교생도 이해할 수 있는 군론 입문
• 삼각함수의 일반화
• 자코비 세타함수
• 대수적 함수와 아벨적분
• 수학사연표