"코탄젠트"의 두 판 사이의 차이
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| + | * 부정적분<br><math>\int \cot x dx = \log \sin x+C</math><br> | ||
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<math>\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})</math> | <math>\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})</math> | ||
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| + | <h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">정적분</h5> | ||
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* [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]<br> | * [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]<br> | ||
* [[ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]]<br> | * [[ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]]<br> | ||
| + | * [[로그 사인 적분 (log sine integrals)]]<br> | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Cotangent | * http://en.wikipedia.org/wiki/Cotangent | ||
| − | * http://www.wolframalpha.com/ | + | * http://www.wolframalpha.com/ |
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2010년 6월 26일 (토) 18:10 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 주기가 \(\pi\)인 주기함수
- 정의
\(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
함수의 그래프
[/pages/3758315/attachments/3110865 cotangent.jpg]
미분과 적분
- 미분
\(\frac{d}{dx}\cot x= -\csc^2 x \) - 부정적분
\(\int \cot x dx = \log \sin x+C\)
코탄젠트의 테일러급수
\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)
\(\pi x\cot \pi x =-2 \sum_{n=0}^\infty \zeta(2n)x^{2n}\)
코탄젠트의 부분분수 전개
\(\pi \cot \pi\tau=\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m}\)
코탄젠트의 푸리에급수
\(\cot \pi\tau=-i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})\)
(증명)
\(\cot \pi\tau=\frac{\cos \pi\tau}{\sin\pi\tau}=i \frac{e^{i\pi\tau}+e^{-i\pi\tau}}{e^{i\pi\tau}-e^{-i\pi\tau}}=i \frac{e^{2\pi i \tau}+1}{e^{2\pi i \tau}-1}\)
\(q=e^{2\pi i \tau}\) 로 두자.
\(\pi i \frac{q+1}{q-1}=\pi i (\frac{q}{q-1}+\frac{1}{q-1})=-\pi i (\sum_{r=1}^{\infty}q^r+\sum_{r=0}^{\infty}q^r)=-\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}q^r)\)■
(따름정리)
코탄젠트의 푸리에급수와 부분분수 전개를 비교하여, 다음을 얻는다.
\(\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})\)
정적분
역사
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