포아송의 덧셈 공식

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• 포아송의 덧셈 공식

 

 

개요

• 아벨군 \(G\)와 그 부분군 \(H\)에 대하여 다음을 정의
  
  • 쌍대군 \(\^G=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}\)
    
  • \(H^{\#}=\{\chi\in \^G | \chi (h)=1\}\)
    
• 푸리에 변환
  \(\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \)
  

 

(정리) 포아송 덧셈 공식

아벨군 \(G\)와 부분군 \(H\), \(g\in G\)에 대하여 다음이 성립한다.

\(\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)\)

 

(따름정리)

특별히 \(g=1\)인 경우 다음을 얻는다.

\(\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(h)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\)

 

 

 

\(G=\mathbb R\)인 경우

• \(G=\mathbb R\), \(H=\mathbb Z\)
  
• \(\^G=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}\), \(\chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}\)
  

• \(H^{\#}=\{\chi_n} : n \in \mathbb Z\}\)
  

• 푸리에 변환
  \(\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\)
  

 

(정리) 포아송

\(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\)

 

(증명)

\(F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)\)

\(F(x+1)=F(x)\) 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다.

\(F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}\)

\(a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt\)

\(F(0):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n\)

한편 \(a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)\)

따라서 \(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\) (증명끝)

• 응용
  
  • 자코비 세타함수
    
  • 격자의 세타함수
    

 

 

선형 코드의 경우

• \(G=\mathbb F_2^n\), \(H = C\) 선형코드의 경우
  

 

•  
  \(\^G=\{\chi_a:a\in G\}\),여기서  \(\chi_a(g)=(-1)^{a\cdot g}\)
   
  
•  
  \(C^{\#}=H^{\#}=\{\chi_a : a\cdot u=0 \ \text{ for all }u \in G\}\)
   
  

• 선형코드에 대해서는 코딩이론 항목을 참조
  

 

 

메모

• 코딩이론
• 코드
  
  • 이차형식에서 격자에 대응
• 코드의 weight enumerator
  
•  
  격자의 쎄타함수에 대응
  
• 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
• MacWilliams Identity

• 섀넌 샘플링 정리

 

 

 

역사

• 수학사연표
  [[수학사연표 (역사)|]]
  

 

 

관련된 항목들

• 푸리에 변환
  
• 자코비 세타함수
  
• 격자의 세타함수
  

 

 

관련도서 및 추천도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
• 도서검색
  
  • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전형태의 자료

•  
  
• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_summation_formula
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=