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==벡터 해석학을 이용한 반사 공식의 유도== | ==벡터 해석학을 이용한 반사 공식의 유도== | ||
| − | * 법벡터를 | + | * 법벡터를 <math>\alpha\neq 0</math>로 갖는 초평면 <math>H_{\alpha,c}=\{x\in \mathbb{R}^n|\alpha\cdot x=c\}</math>을 생각하자 |
| − | * 벡터 | + | * 벡터 <math>x</math>를 <math>H_{\alpha,c}</math>에 반사시켰을 때 얻어지는 벡터를 <math>x'</math>라 하자 |
| − | * 임의의 점 | + | * 임의의 점 <math>x_0\in H_{\alpha,c}</math>를 선택하면, 벡터 <math>x-x_0</math>의 <math>H_{\alpha,c}</math>에 수직한 성분은 |
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\frac{(x-x_0)\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha=\frac{x\cdot \alpha-c}{|\alpha|^2}\alpha | \frac{(x-x_0)\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha=\frac{x\cdot \alpha-c}{|\alpha|^2}\alpha | ||
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로 주어진다 | 로 주어진다 | ||
* 따라서 | * 따라서 | ||
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x'=x-\frac{2x\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha+\frac{2c}{|\alpha|^2}\alpha | x'=x-\frac{2x\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha+\frac{2c}{|\alpha|^2}\alpha | ||
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| − | * | + | * <math>\alpha^{\vee}=\frac{2\alpha}{|\alpha|^2}</math>로 두면, 다음과 같이 표현된다 |
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x'=x-(x\cdot\alpha^{\vee})\alpha+c\alpha^{\vee} | x'=x-(x\cdot\alpha^{\vee})\alpha+c\alpha^{\vee} | ||
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==특수한 경우== | ==특수한 경우== | ||
| − | * | + | * <math>c=0</math>이고 <math>\alpha=\left(\cos (\theta ),\sin (\theta )\right)</math> 이면, 반사변환은 선형사상으로 다음 행렬로 표현된다 |
:<math>\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)</math> | :<math>\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)</math> | ||
* [[정이면체군(dihedral group)]] | * [[정이면체군(dihedral group)]] | ||
2020년 11월 12일 (목) 06:41 판
개요
- n 차원 공간의 초평면에 대한 반사
벡터 해석학을 이용한 반사 공식의 유도
- 법벡터를 \(\alpha\neq 0\)로 갖는 초평면 \(H_{\alpha,c}=\{x\in \mathbb{R}^n|\alpha\cdot x=c\}\)을 생각하자
- 벡터 \(x\)를 \(H_{\alpha,c}\)에 반사시켰을 때 얻어지는 벡터를 \(x'\)라 하자
- 임의의 점 \(x_0\in H_{\alpha,c}\)를 선택하면, 벡터 \(x-x_0\)의 \(H_{\alpha,c}\)에 수직한 성분은
\[ \frac{(x-x_0)\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha=\frac{x\cdot \alpha-c}{|\alpha|^2}\alpha \] 로 주어진다
- 따라서
\[ x'=x-\frac{2x\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha+\frac{2c}{|\alpha|^2}\alpha \]
- \(\alpha^{\vee}=\frac{2\alpha}{|\alpha|^2}\)로 두면, 다음과 같이 표현된다
\[ x'=x-(x\cdot\alpha^{\vee})\alpha+c\alpha^{\vee} \]
특수한 경우
- \(c=0\)이고 \(\alpha=\left(\cos (\theta ),\sin (\theta )\right)\) 이면, 반사변환은 선형사상으로 다음 행렬로 표현된다
\[\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)\]
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스