"리만 곡면의 주기 행렬과 겹선형 관계 (bilinear relation)"의 두 판 사이의 차이
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\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} | \mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} | ||
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| − | * [[타원곡선의 주기]]는 | + | * [[타원곡선의 주기]]는 <math>g=1</math>인 경우에 해당한다 |
==주기 행렬== | ==주기 행렬== | ||
* 다음을 만족하는 <math>H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}</math>의 기저, 2g 개의 닫힌 곡선 <math>a_1, \dots, a_g,b_1,\cdots,b_g</math>이 존재 (canonical homology basis) | * 다음을 만족하는 <math>H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}</math>의 기저, 2g 개의 닫힌 곡선 <math>a_1, \dots, a_g,b_1,\cdots,b_g</math>이 존재 (canonical homology basis) | ||
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\langle a_i,b_j \rangle = \begin{cases} 1, & \text{if }i=j\\ 0, & \text{if }i\neq j \\ \end{cases} | \langle a_i,b_j \rangle = \begin{cases} 1, & \text{if }i=j\\ 0, & \text{if }i\neq j \\ \end{cases} | ||
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* 즉, 다음과 같은 intersection form을 가진다 | * 즉, 다음과 같은 intersection form을 가진다 | ||
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b & -I_g & 0 | b & -I_g & 0 | ||
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\int_{a_i}\omega_j=\delta_{ij} | \int_{a_i}\omega_j=\delta_{ij} | ||
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| − | * | + | * <math>\tau_{i,j}=\int_{b_i}\omega_j</math>로 두면, <math>\tau=(\tau_{i,j})_{1\leq i,j\leq g}</math>는 다음의 성질을 만족한다 (리만 겹선형 관계) |
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| − | # | + | # <math>\textrm{Im}(\tau)</math>는 [[양의 정부호 행렬(positive definite matrix)]] |
| − | * 즉, | + | * 즉, <math>\tau</math>는 지겔 상반 공간 <math>\mathcal{H}_g</math>의 원소이며, <math>X</math>의 주기 행렬 (period matrix)라 부른다 |
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\omega _3 & 0 & 0 & 1 & \tau _{3,1} & \tau _{3,2} & \tau _{3,3} | \omega _3 & 0 & 0 & 1 & \tau _{3,1} & \tau _{3,2} & \tau _{3,3} | ||
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| − | 여기서 | + | 여기서 <math>\left\langle \gamma|\omega\right\rangle=\int_{\gamma}\omega</math> |
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| − | * [[클라인의 4차곡선]]의 경우, | + | * [[클라인의 4차곡선]]의 경우, <math>g=3</math>인 곡선 |
* 주기 행렬은 다음과 같이 주어진다 | * 주기 행렬은 다음과 같이 주어진다 | ||
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* [[클라인 4차곡선의 주기 행렬]] 참조 | * [[클라인 4차곡선의 주기 행렬]] 참조 | ||
2020년 11월 13일 (금) 21:48 판
개요
- 종수가 \(g\)인 컴팩트 리만 곡면 \(X\)의 주기 행렬은 지겔 상반 공간 \(\mathcal{H}_g\)의 원소로 주어짐
\[ \mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} \]
- 타원곡선의 주기는 \(g=1\)인 경우에 해당한다
주기 행렬
- 다음을 만족하는 \(H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}\)의 기저, 2g 개의 닫힌 곡선 \(a_1, \dots, a_g,b_1,\cdots,b_g\)이 존재 (canonical homology basis)
\[ \langle a_i,b_j \rangle = \begin{cases} 1, & \text{if }i=j\\ 0, & \text{if }i\neq j \\ \end{cases} \]
- 즉, 다음과 같은 intersection form을 가진다
\[ \begin{array}{c|cc} \text{} & a& b \\ \hline a & 0 & I_g \\ b & -I_g & 0 \end{array} \]
- 다음을 만족하는 \(H^0(X, K) \cong \mathbb{C}^g\)의 기저, holomorphic 1-form \(\omega_1,\cdots,\omega_{g}\)가 존재
\[ \int_{a_i}\omega_j=\delta_{ij} \]
- \(\tau_{i,j}=\int_{b_i}\omega_j\)로 두면, \(\tau=(\tau_{i,j})_{1\leq i,j\leq g}\)는 다음의 성질을 만족한다 (리만 겹선형 관계)
- \(\tau^{\mathrm{T}}=\tau\)
- \(\textrm{Im}(\tau)\)는 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)
- 즉, \(\tau\)는 지겔 상반 공간 \(\mathcal{H}_g\)의 원소이며, \(X\)의 주기 행렬 (period matrix)라 부른다
\(g=3\) 인 경우
\[ \begin{array}{c|ccc|ccc} \text{} & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3 \\ \hline \omega _1 & \left\langle a_1|\omega _1\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _1\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _1\right\rangle \\ \omega _2 & \left\langle a_1|\omega _2\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _2\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _2\right\rangle \\ \omega _3 & \left\langle a_1|\omega _3\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _3\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _3\right\rangle \end{array} = \begin{array}{c|ccc|ccc} \text{} & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3 \\ \hline \omega _1 & 1 & 0 & 0 & \tau _{1,1} & \tau _{1,2} & \tau _{1,3} \\ \omega _2 & 0 & 1 & 0 & \tau _{2,1} & \tau _{2,2} & \tau _{2,3} \\ \omega _3 & 0 & 0 & 1 & \tau _{3,1} & \tau _{3,2} & \tau _{3,3} \end{array} \] 여기서 \(\left\langle \gamma|\omega\right\rangle=\int_{\gamma}\omega\)
예
- 클라인의 4차곡선의 경우, \(g=3\)인 곡선
- 주기 행렬은 다음과 같이 주어진다
\[ \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} \rho & 1 & 1 \\ 1 & \rho & 1 \\ 1 & 1 & \rho \\ \end{array} \right) \] 여기서 \(\rho=\frac{-1+\sqrt{-7}}{2}\).
메모
- http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_bilinear_relations
- http://mathoverflow.net/questions/22286/intuition-behind-riemanns-bilinear-relations
- http://www-nonlinear.physik.uni-bremen.de/~prichter/pdfs/ThetaConst.pdf
- http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/1402
- http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/sem/html/home/notes/99/course.pdf
- \(\omega_i\in \Omega^{1,0}\)
- \((\omega_k,\omega_l)=i\int_{X} \omega_k \wedge \omega_l=0\)
- \(\omega\neq 0\)
- \((\omega,\bar{\omega})=i\int_{X} \omega \wedge \bar{\omega}>0\)
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxV1RCbzVJYWUwOEU/edit
- RiemannCycles
- Some tools for working on homology cycles for Riemann surfaces presented in an algebraic manner
- Maple
- http://iml.univ-mrs.fr/ati/GeoCrypt2011/slides/molin.pdf
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- James Carlson and Phillip Griffiths What is...a period domain?, December 2008
- Beginning compact Riemann surface theory
관련논문
- Braden, Harry W., and Timothy P. Northover. 2012. “Bring’s Curve: Its Period Matrix and the Vector of Riemann Constants”. ArXiv e-print 1206.6004. http://arxiv.org/abs/1206.6004.
- Deconinck, Bernard, and Mark van Hoeij. 2001. “Computing Riemann Matrices of Algebraic Curves.” Physica D. Nonlinear Phenomena 152/153: 28–46. doi:10.1016/S0167-2789(01)00156-7.
- Tretkoff, C. L., and M. D. Tretkoff. 1984. “Combinatorial Group Theory, Riemann Surfaces and Differential Equations.” In Contributions to Group Theory, 33:467–519. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=767125.